Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex9542] polytechnique PSI 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois réels strictement positifs.

On pose \(E=\displaystyle\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2+\left(\frac{z}{c}\right)^2=1\right\}\).

On suppose que \(A\), \(B\), \(C\) sont trois points distincts de \(E\) tels que le plan tangent à \(E\) en \(A\) est parallèle à \((BC)\), le plan tangent à \(E\) en \(B\) est parallèle à \((CA)\), le plan tangent à \(E\) en \(C\) est parallèle à \((AB)\).

Calculer le volume du parallélépipède engendré par les vecteurs \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\).

[oraux/ex1850] centrale MP 2008 Préciser la nature des surfaces de \(\mathbf{R}^3\) d’équations \(\Sigma_1\) : \(6x^2-y^2+11z^2=1\) et \(\Sigma_2\) : \(x^2-yz=1\). Déterminer l’ensemble des droites à la fois tangentes à \(\Sigma_1\) et à \(\Sigma_2\).

[oraux/ex5777] centrale PC 2012 Soit \((S)\) la surface d’équation \(x^2+y^2=z\).

1. Nature de \((S)\) ?

2. Soient \(a>0\) et \((P)\) le plan d’équation \(z=ax\). Nature (et éventuellement excentricité) de l’intersection de \((P)\) et de \((S)\) ?

[oraux/ex1808] mines MP 2006 Reconnaître, si \(\alpha\in\mathbf{R}\), la quadrique d’équation : \[x^2+3y^2-3z^2-4xy+2xz-8yz+\alpha x+2y-z=1.\]

[fct.R2/ex0646] Par chaque point sur la surface \(z=ax^2+by^2\) qui se trouve à une distance \(h\) au-dessus du plan \(Oxy\), on mène la normale à la surface. Calculer l’équation de la courbe formée par les intersections de ces normales avec le plan \(Oxy\).