Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1861] mines PC 2009 Soient \((a,b,c)\in(\mathbf{R}_+^*)^3\) et \(\mathscr{S}\) la surface d’équation : \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\). Déterminer les plans tangents à \(\mathscr{S}\) coupant \((Ox)\), \((Oy)\) et \((Oz)\) respectivement en \(A\), \(B\), \(C\) avec \(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\).

[oraux/ex4412] centrale PC 2011 Soit \((S)\) la surface paramétrée par \(\Phi:(\theta,\varphi)\mapsto(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\varphi,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi,\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\).

1. Reconnaître \((S)\). Représenter les vecteurs \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}\) et \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}\).

2. Caractériser les \(\gamma\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R}^3)\) telles que \(\gamma(\mathbf{R})\subset(S)\) et telles que l’angle entre \(\gamma'(t)\) et \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}(\gamma(t))\) soit constant égal à \(\beta\).

[concours/ex6143] centrale PC 2007 Soient \(a\in\mathbf{R}_+^*\) et \(\mathscr{C}\) la courbe intersection des surfaces \(x^2+y^2+z^2=a^2\) et \(x^2+y^2=ax\).

1. Déterminer les points réguliers de \(\mathscr{C}\).

2. Soit \(P\) le point d’intersection de la tangente à \(\mathscr{C}\) en un point \(M\) avec le plan \(z=0\). Déterminer le lieu des points \(P\) lorsque \(M\) parcourt \(\mathscr{C}\).

[concours/ex2054] centrale MP 1999 Soit \(\Sigma=\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mid x^2+y^2-z^2-2bxy=0\right\}\) où \(b\in\mathbf{R}\).

1. Quelle est la nature de \(\Sigma\) ?

2. Trouver les plans coupant \(\Sigma\) suivant deux droites orthogonales.

[concours/ex4032] polytechnique M 1990 Soit \(\Phi\) la forme quadratique sur \(\mathbf{R}^3\) définie par : \((x,y,t)\mapsto x^2+y^2-t^2\). Soit \[H=\left\{X\in\mathbf{R}^3\mid\Phi(X)=-1\right\}.\] Si \(P\in H\), \(T_H(P)\) est le plan vectoriel tangent en \(P\) à \(H\), et \(\Phi_P\) la restriction de \(\Phi\) à \(T_H(P)\).

Soit \(S=(0,0,-1)\) ; l’application \(\psi:H\setminus\{S\}\rightarrow\mathbf{R}^2\) est définie par : \(\psi(P)\) est l’intersection avec \(t=0\) de la droite \((SP)\).

Etudier \(\Phi_P\). Montrer que, si deux courbes de \(H\) de classe \(C^\infty\) se croisent en \(P\) selon l’angle \(\alpha\), il en est de même en \(\psi(P)\) de leurs images par \(\psi\).