Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4730] polytechnique MP 2019 Décrire et représenter \(\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ x^2+y^2-2xz=0\}\).

[oraux/ex9457] centrale PSI 2013 Soient \(D_1\) la droite qui passe par le point \(A_1=(1,-2,1)\) et a pour vecteur directeur \(u_1=(1,-2,1)\) et \[D_2=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+z+1=x+2y-7=0\}.\]

1. Trouver un vecteur directeur \(u_2\) de \(D_2\) et trouver un point qui appartient à \(D_2\) (on appellera ce point \(A_2\).

2. Paramétrer \(D_1\) et \(D_2\) et les représenter avec Maple.

3. On note \(d(A,D)\) la distance d’un point \(A\) à une droite \(D\). Trouver une équation cartésienne de \(H=\{M=(x,y,z),\ d(M,D_1)=d(M,D_2)\}\). Quele est la nature de la quadrique \(\mathscr{H}\) ?

4. Tracer \(H\) avec Maple (avec \(D_1\) et \(D_2\) si possible).

5. Soient \(M(s)=A_1+su_1\) et \(N(r)=A_2+ru_2\) deux points courant respectivement sur \(D_1\) et \(D_2\). Montrer que la fonction \(f:(s,r)\mapsto N(r)M(s)^2\) admet un minimum et trouver ce minimum. Interprétation géométrique ?

[oraux/ex1838] mines MP 2008 Nommer la surface d’équation : \(2x^2+y^2+z^2-8yz-2y+2z=0\).

[concours/ex6206] ccp PSI 2007 Nature de la quadrique : \(-y^2+3z^2-6\sqrt2z+2x-4=0\) ?

[oraux/ex4412] centrale PC 2011 Soit \((S)\) la surface paramétrée par \(\Phi:(\theta,\varphi)\mapsto(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\varphi,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi,\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta)\).

1. Reconnaître \((S)\). Représenter les vecteurs \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}\) et \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}\).

2. Caractériser les \(\gamma\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R}^3)\) telles que \(\gamma(\mathbf{R})\subset(S)\) et telles que l’angle entre \(\gamma'(t)\) et \(\displaystyle{\partial\Phi\over\partial\theta}(\gamma(t))\) soit constant égal à \(\beta\).