Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4032] polytechnique M 1990 Soit \(\Phi\) la forme quadratique sur \(\mathbf{R}^3\) définie par : \((x,y,t)\mapsto x^2+y^2-t^2\). Soit \[H=\left\{X\in\mathbf{R}^3\mid\Phi(X)=-1\right\}.\] Si \(P\in H\), \(T_H(P)\) est le plan vectoriel tangent en \(P\) à \(H\), et \(\Phi_P\) la restriction de \(\Phi\) à \(T_H(P)\).

Soit \(S=(0,0,-1)\) ; l’application \(\psi:H\setminus\{S\}\rightarrow\mathbf{R}^2\) est définie par : \(\psi(P)\) est l’intersection avec \(t=0\) de la droite \((SP)\).

Etudier \(\Phi_P\). Montrer que, si deux courbes de \(H\) de classe \(C^\infty\) se croisent en \(P\) selon l’angle \(\alpha\), il en est de même en \(\psi(P)\) de leurs images par \(\psi\).

[fct.R2/ex0996] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[x^2+y^2+z^2-4x+6y+2z-2=0.\]

[oraux/ex9442] mines PC 2013 Soient \(a>0\) et \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(x^2+a^2=ax\). Déterminer la nature de \(\mathscr{S}\). Donner une condition sur \(a\) pour qu’il existe un point de \(\mathscr{S}\) en lequel le plan tangent est orthogonal à \((1,0,1)\).

[concours/ex0478] centrale MP 1996 Soit \(\Sigma\) la surface d’équation \((x^2+y^2)z^2=a^2y^2\), \(a>0\) fixé.

1. Déterminer les droites incluses dans \(\Sigma\).

2. Montrer que toutes ces droites sont tangentes à deux sphères.

3. Déterminer les courbes tracées sur \(\Sigma\) orthogonales à ces droites.

[oraux/ex3950] mines MP 2011 Donner les éléments de la quadrique d’équation : \[13x^2+10y^2+5z^2-4xy-6xz-12yz-14=0.\]