Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex9507] centrale PSI 2014 (avec Maple)

Soit \((S)\) la surface d’équation : \[x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+3x-y+2z=0.\]

1. Trouver l’équation réduite de \((S)\) dans un repère orthonormé que l’on précisera.

2. Soit \(\vec u=(1,1,1)\). Déterminer \(\Gamma_{\vec u}\) la courbe constituée des points \(M\) de \((S)\) tels que la droite \((M,\vec u)\) soit tangente à \((S)\) en \(M\).

3. Tracer \((S)\) et \(\Gamma_{\vec u}\) sur la même figure.

[oraux/ex1870] centrale PC 2009 (avec Maple)

Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(\displaystyle{-6\over5}x^2+2xy+{6\over5}xz+{3\over2}y^2-yz+{7\over10}z^2=0\).

1. Déterminer la nature de \(\mathscr{S}\). Donner un repère dans lequel \(\mathscr{S}\) est sous forme réduite. Représenter \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(\mathscr{S}'\) la quadrique d’équation réduite dans le repère orthonormé direct \((O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\) : \(x^2+2y^2-z^2=0\). Soient \(\Pi\) un plan de \(\mathbf{R}^3\) de vecteur normal unitaire \(\vec n\). À quelle condition l’intersection \(\Pi\cap\mathscr{S}'\) est-elle un cercle ? Déterminer les centres de ces cercles.

[concours/ex3819] centrale M 1992 Soit \((\Sigma)\) et \((\Sigma')\) les surfaces d’équations respectives \(az=xy\) et \(bz=xy\), \(a>0\), \(b>0\).

1. Nature des surfaces \((\Sigma)\) et \((\Sigma')\) ?

2. Base du plan tangent à \((\Sigma)\) au point \(M(x,y,z)\) ?

3. Trouver les courbes \((\gamma)\) tracées sur \((\Sigma)\) telles que toutes les tangentes à \((\gamma)\) soient tangentes à \((\Sigma')\).

[oraux/ex1839] mines MP 2008 Nature de la quadrique d’équation \(z^2=xy\).

[oraux/ex1872] centrale PC 2009 Nature de la quadrique d’équation \(x^2-xy-y^2+z^2-3x-1=0\).