Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1848] centrale MP 2008 Soit, dans \(\mathbf{R}^3\), \(H_1\) d’équation \(x^2-yz=1\) et \(H_2\) d’équation \(6x^2-y^2+11z^2=1\). Déterminer les droites tracées sur \(H_1\) et tangentes à \(H_2\).

[oraux/ex5778] centrale PC 2012 Dans \(\mathbf{R}^3\), soient \((S)\) d’équation \(x^2+y^2+z^2=1\), \((\Sigma)\) d’équation \(x^2+y^2-2x=0\), et \(({\cal C})\) l’intersection de \((S)\) et de \((\Sigma)\).

1. Préciser la nature de \((S)\) et de \((\Sigma)\).

2. Montrer que tout point de \(({\cal C})\) est régulier.

3. Déterminer les projections orthogonales de \(({\cal C})\) sur les plans \((x=0)\), \((y=0)\) et \((z=0)\).

[concours/ex0310] mines MP 1996 Soit la surface \(\Sigma:x^2+y^2=z^2\). Quelles sont les courbes \(\Gamma\) tracées sur \(\Sigma\) telles que le segment de tangente compris entre le point courant et le plan \(xOy\) est de longueur constante ?

[fct.R2/ex0466] Montrer que l’hyperboloïde à une nappe \(x^2+y^2-z^2=1\) est une surface réglée, c’est-à-dire, que chacun de ses points se trouve sur une droite qui est entièrement contenue dans la surface.

[oraux/ex1792] centrale PSI 2005 Soient \(P=\left\{\vphantom{|_|}\smash{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+y+z=1}\right\}\) et \(S=\left\{\vphantom{|_|}\smash{x^2+y^2+z^2-4x-6y=0}\right\}\). Déterminer \(P\cap S\).