Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1653] ccp, tpe, int, ivp PC 1998 Étudier l’ensemble des points \((x,y,z)\) de \(\mathbf{R}^3\) tels que \(\left(\begin{array}{cc}x&-z\\z&y\end{array}\right)\) n’est pas diagonalisable dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[concours/ex0476] centrale MP 1996 Soit \(H\) un hyperboloïde à deux nappes, \(A\) l’un de ses sommets, \(\Delta\) une droite tangente en \(A\) à \(H\) et \(P\) un plan contenant \(\Delta\). Nature de l’intersection \(\Gamma_P\) du plan et de l’hyperboloïde ? Lieu du centre de courbure de \(\Gamma_P\) lorsque \(P\) varie ?

[oraux/ex1882] centrale MP 2010 Trouver un plan passant par l’origine dont l’intersection avec l’ellipsoïde d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\) (où \(a>b>c\)) soit un cercle.

[oraux/ex9457] centrale PSI 2013 Soient \(D_1\) la droite qui passe par le point \(A_1=(1,-2,1)\) et a pour vecteur directeur \(u_1=(1,-2,1)\) et \[D_2=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+z+1=x+2y-7=0\}.\]

1. Trouver un vecteur directeur \(u_2\) de \(D_2\) et trouver un point qui appartient à \(D_2\) (on appellera ce point \(A_2\).

2. Paramétrer \(D_1\) et \(D_2\) et les représenter avec Maple.

3. On note \(d(A,D)\) la distance d’un point \(A\) à une droite \(D\). Trouver une équation cartésienne de \(H=\{M=(x,y,z),\ d(M,D_1)=d(M,D_2)\}\). Quele est la nature de la quadrique \(\mathscr{H}\) ?

4. Tracer \(H\) avec Maple (avec \(D_1\) et \(D_2\) si possible).

5. Soient \(M(s)=A_1+su_1\) et \(N(r)=A_2+ru_2\) deux points courant respectivement sur \(D_1\) et \(D_2\). Montrer que la fonction \(f:(s,r)\mapsto N(r)M(s)^2\) admet un minimum et trouver ce minimum. Interprétation géométrique ?

[concours/ex2549] centrale M 1995 Nature de la surface \(\Sigma\) d’équation \(2xy-xz+2yz=0\). Déterminer son intersection avec le plan \(x+y+z=0\). La surface \(\Sigma\) contient-elle des cercles ?