Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0992] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[x^2-4y^2-4z^2=36.\]

[oraux/ex1839] mines MP 2008 Nature de la quadrique d’équation \(z^2=xy\).

[concours/ex2830] mines M 1994 Soit \((O,\mathchoice{\overrightarrow{i}}{\overrightarrow{i}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle i}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle i}},\mathchoice{\overrightarrow{j}}{\overrightarrow{j}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle j}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle j}},\mathchoice{\overrightarrow{k}}{\overrightarrow{k}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle k}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle k}})\) un repère orthonormé. Reconnaître la surface \(\Sigma\) d’équation \((x+y+z)^2-4yz=0\). Déterminer l’angle des plans tangents à \(\Sigma\) contenant la droite \((x=2y\ ;\ x=-z)\).

[planches/ex4730] polytechnique MP 2019 Décrire et représenter \(\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ x^2+y^2-2xz=0\}\).

[oraux/ex1780] mines PSI 2005 Dessiner un paraboloïde elliptique.

[oraux/ex1765] centrale 2004 Soit des réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(0<c<b<a\). Pour tout \(\lambda\) réel autre que \(-a\), \(-b\), \(-c\), on note \(Q_\lambda\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over\lambda+a}+{y^2\over\lambda+b}+{z^2\over\lambda+c}=0\).

1. Étudier, selon \(\lambda\), la nature de \(Q_\lambda\).

2. Soit \(M\in\mathbf{R}^3\) un point dont aucune coordonnée n’est nulle. Montrer qu’il existe exactement trois réels \(\lambda\) tels que \(M\in Q_\lambda\).

3. Montrer que les plans tangents en \(M\) aux trois surfaces \(Q_\lambda\) passant par \(M\) sont deux à deux perpendiculaires.

[fct.R2/ex0654] Montrer que les surfaces \(x^2+2y^2-4z^2=8\) et \(4x^2-y^2+2z^2=14\) sont perpendiculaires au point \((2,2,1)\).

[fct.R2/ex0638] Calculer l’équation du plan tangent à \(2x^2-y^2\) en \((1,1,1)\).

[planches/ex4106] navale PSI 2018 Soit \(S\) la surface d’équation \(x^2-y^2-z=1\), \(P\) le plan d’équation \(x+2y-z=0\). Donner l’ensemble des points \(M\) de \(S\) tels que le plan tangent à \(S\) en \(M\) soit parallèle à \(P\).

[oraux/ex9441] mines PSI 2013 Soient \(E\) un espace euclidien de dimension 3 rapporté à un repère orthonormé, \(P\) et \(S\) ayant respectivement pour équation : \(x+y+z=1\) et \(x^2+y^2+z^2-4x-6y=0\). Déterminer l’ensemble \(P\cap S\).

[oraux/ex9466] centrale PC 2013 (avec Maple)

Soient \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \[xy+yz+zx-(x+y+z)+1=0,\] \(\mathscr{D}_1\) la droite d’équation \(y=0\), \(z=1\), \(\mathscr{D}_2\) la droite d’équation \(x=0\), \(y=1\) et \(\mathscr{D}_3\) la droite d’équation \(z=0\), \(x=1\).

1. Représenter \(\mathscr{S}\), \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\), \(\mathscr{D}_3\). Que remarque-t-on ? Montrer le résultat.

2. Montrer qu’il existe une base orthonormée dans laquelle l’équation de \(\mathscr{S}\) est : \[{X^2\over a^2}-{Y^2\over b^2}-{Z^2\over c^2}=-1.\] Préciser \((a,b,c)\).

3. Montrer qu’il existe une infinité de droites incluses dans \(\mathscr{S}\).

[oraux/ex5780] centrale PC 2012 Pour \(b\in \mathbf{R}\), on considère \((S) : 2x^2+y^2-4xy-4yz=b\). Déterminer la nature de \((S)\) en fonction de \(b\). Déterminer la nature de l’intersection de \((S)\) avec le plan \(z=0\).

[concours/ex1653] ccp, tpe, int, ivp PC 1998 Étudier l’ensemble des points \((x,y,z)\) de \(\mathbf{R}^3\) tels que \(\left(\begin{array}{cc}x&-z\\z&y\end{array}\right)\) n’est pas diagonalisable dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[concours/ex0987] centrale MP 1997 Soient des réels \(a\) et \(b\) et un entier \(n\geqslant 2\). On note \(A\) la matrice carrée d’ordre \(n\) : \[A=\left(\begin{array}{cccccc} a+b&b&\cdots&\cdots&\cdots&b\\ b&a&0&\cdots&0&\vdots\\ \vdots&0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&0&\cdots&0&a&b\\ b&\cdots&\cdots&\cdots&b&a+b\end{array}\right)\,.\]

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable.

2. Trouver les éléments propres de \(A\).

3. Pour \(n=3\) discuter la nature de la quadrique d’équation \({}^tXAX=1\).

[oraux/ex1868] centrale PSI 2009 Dans \(\mathbf{R}^3\), soient \(\mathscr{H}\) d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-{z^2\over c^2}=1\) et \(\mathscr{C}\) d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-{z^2\over c^2}=0\).

1. Déterminer la nature de \(\mathscr{H}\) et de \(\mathscr{C}\).

2. Soit \(P_0\) un plan tel que \(P_0\cap\mathscr{C}\) est une ellipse. Si \(P\) est un plan parallèle à \(P_0\), montrer que \(\mathscr{P}\cap\mathscr{H}\) est une ellipse.

[oraux/ex9477] ccp PSI 2013 Soit \((S)\) la surface d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\).

1. Déterminer la nature de \((S)\).

2. Déterminer l’intersection de \((S)\) avec \((\Delta)\) d’équation \(z-1=y-x-3=0\).

3. Déterminer l’intersection de \((S)\) avec \((D)\) : \(\cases{x=az+b\cr y=cz+d}\) où \(\pmatrix{a&b\cr c&d}\in\mathscr{O}_2(\mathbf{R})\).

[fct.R2/ex0999] Représenter l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient : \[x^2+y^2<z<x+y.\]

[concours/ex3255] mines M 1993 Déterminer le lieu des sommets des cônes circonscrits à : \[x^2+4y^2=z\] qui rencontrent le plan \(xOy\) selon un cercle.

[fct.R2/ex0453] Décrire et tracer le graphe de \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}={z^2\over c^2}\), où \(a\), \(b\), \(c>0\).

[oraux/ex1758] centrale 2003 Soit \(U\in\mathbf{R}^n\), \(\alpha\) réel. On pose, pour \(X\in\mathbf{R}^n\) : \[Q(X)={}^tXX+\alpha({}^tUX)^2.\]

1. \(Q\) est-elle une forme quadratique ? Si oui, donner sa signature.

2. Réduire et dessiner la quadrique d’équation \(Q(X)=1\) pour \(n=3\) et \(U=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\).

[fct.R2/ex0452] Décrire et tracer le graphe de \(\displaystyle{x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}-{z^2\over c^2}=1\), où \(a\), \(b\), \(c>0\).

[oraux/ex1785] centrale MP 2005 Soit \((S)\) la surface d’équation \(z=x^2-y^2\).

1. Reconnaître \((S)\).

2. Indiquer pour quels \((u,v,w,t)\in\mathbf{R}^4\) le plan d’équation \(ux+vy+wz=t\) est tangent à \((S)\).

[fct.R2/ex0991] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[x^2+y^2+z^2=16.\]

[oraux/ex9476] ccp PSI 2013 Dans \(\mathbf{R}^3\) euclidien standard, déterminer les points équidistants des droites \(3x+2z-1=y=0\) et \(x=z=0\).

[oraux/ex9457] centrale PSI 2013 Soient \(D_1\) la droite qui passe par le point \(A_1=(1,-2,1)\) et a pour vecteur directeur \(u_1=(1,-2,1)\) et \[D_2=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+z+1=x+2y-7=0\}.\]

1. Trouver un vecteur directeur \(u_2\) de \(D_2\) et trouver un point qui appartient à \(D_2\) (on appellera ce point \(A_2\).

2. Paramétrer \(D_1\) et \(D_2\) et les représenter avec Maple.

3. On note \(d(A,D)\) la distance d’un point \(A\) à une droite \(D\). Trouver une équation cartésienne de \(H=\{M=(x,y,z),\ d(M,D_1)=d(M,D_2)\}\). Quele est la nature de la quadrique \(\mathscr{H}\) ?

4. Tracer \(H\) avec Maple (avec \(D_1\) et \(D_2\) si possible).

5. Soient \(M(s)=A_1+su_1\) et \(N(r)=A_2+ru_2\) deux points courant respectivement sur \(D_1\) et \(D_2\). Montrer que la fonction \(f:(s,r)\mapsto N(r)M(s)^2\) admet un minimum et trouver ce minimum. Interprétation géométrique ?

[oraux/ex1863] centrale MP 2009

1. Montrer qu’un ellipsoïde, un paraboloïde elliptique et un hyperboloïde à deux nappes ne sont pas des surfaces réglées.

2. Soit \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) un paraboloïde hyperbolique d’équation cartésienne réduite \(\displaystyle{z^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=2z\) avec \(a>0\) et \(b>0\).

   1. Montrer que, par tout point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) passent deux droites incluses dans \(\mathscr{P}\mathscr{H}\).

   2. Proposer un paramétrage de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) de la forme \((u,t)\mapsto M(u,t)\) où \(M(u,0)=(au,0,u^2/2)\) et tel que, pour tout \(u\), \(t\mapsto M(u,t)\) paramètre une droite.

   3. Proposer un paramétrage \((\lambda,\mu)\mapsto P(u,t)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\)tel que, pour tout \(\lambda\), \(\mu\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite, et pour tout \(\mu\), \(\lambda\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite.

[oraux/ex3950] mines MP 2011 Donner les éléments de la quadrique d’équation : \[13x^2+10y^2+5z^2-4xy-6xz-12yz-14=0.\]

[fct.R2/ex0996] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[x^2+y^2+z^2-4x+6y+2z-2=0.\]

[concours/ex3818] centrale M 1992 Soit \((P)\) le paraboloïde elliptique \[x^2+\alpha y^2=2pz\quad(\alpha>1,\quad p>0).\] trouver les sphères \((S)\) telles que \((S)\cap (P)\) soit un cercle.

[fct.R2/ex0461] Identifier la surface d’équation \(25x^2-y^2-z^2=25\).

[oraux/ex1880] mines PC 2010 Soient \((S)\) la surface d’équation \(x^2-y^2+z^2=1\) et \((P)\) le plan d’équation \(2x+y-z=2\). Déterminer les points de \((S)\) en lesquels le plan tangent est parallèle à \((P)\).

[concours/ex6206] ccp PSI 2007 Nature de la quadrique : \(-y^2+3z^2-6\sqrt2z+2x-4=0\) ?

[concours/ex2556] centrale M 1995 Soit \(S\) la surface d’équation \(z=\sqrt{x^2+y^2+a}\). Reconnaître \(S\). Discuter l’existence sur \(S\) de courbes bi-régulières dont la normale principale reste tangente à \(S\).

[oraux/ex4408] centrale PC 2011 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(\mathscr{C}\) l’intersection de \((S)\) d’équation \(x^2+y^2+z^2-y-2z=0\) et de \((P)\) d’équation \(x+y+x=1\).

1. Donner les éléments caractéristiques de \(\Gamma\).

2. Soient \(1(0,1/2,1)\) et \(\Gamma\) la réunion des droites passant par \(a\) et par un point de \(\mathscr{C}\). Caractériser \(\Gamma\).

[concours/ex2628] tpe, int, ivp M 1995 Droites parallèles au plan \(z=0\) et qui rencontrent \(D:\{x=0;\ y=2a\}\) et \(\Gamma:\{x^2+y^2-z^2=4a^2;\ x^2+y^2-4ay=0\}\).

[oraux/ex1833] polytechnique MP 2008 À quelle condition la quadrique \(a(x^2+2yz)+b(y^2+2xz)+c(z^2+2xy)=1\) est-elle de révolution ?

[concours/ex4195] mines M 1990 \((S)\) est la surface d’équation \(x^2+y^2=z^2\) (repère orthonormé). Nature de \((S)\) ? Déterminer les courbes de \((S)\) pour lesquelles le plan osculateur est orthogonal au plan tangent à \((S)\).

[oraux/ex4136] mines PC 2011 Soient \(\mathscr{S}\) la surface de \(\mathbf{R}^3\) d’équation \(z^3=xy\) et \(\mathscr{D}\) la droite \((x=2,\ y=3(z+1))\). Déterminer les points réguliers de \(\mathscr{S}\) en lesquels le plan tangent à \(\mathscr{S}\) contient \(\mathscr{D}\).

[oraux/ex1860] mines PC 2009 Nature de la surface d’équation : \(5x^2-7y^2-2z^2=1\).

[concours/ex0566] tpe, int, ivp MP 1996 Trouver la surface engendrée par les droites rencontrant les trois droites \[\left\{\begin{array}{rcl}x&=&1\\y&=&0\end{array}\right.\,,\quad \left\{\begin{array}{rcl}x&=&0\\z&=&0\end{array}\right.\,,\quad \left\{\begin{array}{rcl}x&=&-1\\y&=&z\end{array}\right.\,.\]

[concours/ex3346] centrale M 1993

1. Soit \(E\) un espace euclidien de dimension finie \(n\), et \(u\) un endomorphisme symétrique de \(E\). On pose : \[\mathscr{C}=\{x\in E\mid(u(x)\mid x)=0\}.\] Montrer que \(\mathscr{C}\) contient une base orthonormée si, et seulement si, \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=0\).

2. Dans l’espace affine euclidien \(\mathbf{R}^3\), on considère la parabole \((\mathscr{P})\) : \(y^2=2px\), \(z=0\). Déterminer les points \(M\) de l’espace tels qu’il passe par \(M\) trois droites orthogonales s’appuyant sur \((\mathscr{P})\).

[concours/ex4047] polytechnique pox P 1990 Nature de la surface d’équation : \[(x+y)(y-z)+3x-5y=0.\]