Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex2922] centrale M 1994 Soit \(S\) la surface \(\{x^2-y^2-z^2=a^2\}\) (\(a>0\)). Soit \(\Sigma\) l’ensemble des projetés de \(O\) sur les plans tangents à \(S\).

1. Reconnaître \(S\).

2. Étudier \(\Sigma\). Tracer sa méridienne.

3. Calculer le volume intérieur à \(\Sigma\).

[oraux/ex4406] centrale PC 2011 (avec Maple)

On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique.

Soit \(q:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mapsto x^2-y^2+2z^2+3xz+yz\).

1. Si \(\alpha\in\mathbf{R}\), déterminer la nature de \(\Sigma_\alpha=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ q(x,y,z)=\alpha\}\).

2. Montrer que la restriction de \(q\) à la sphère unité admet un maximum et un minimum. Déterminer ces extrema et les points en lesquels ils sont atteints.

3. Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathbf{R}^3\) non colinéaires. Déterminer : \(\Sigma_\alpha=\{x\in\mathbf{R}^3,\ \langle a,x\rangle\langle b,x\rangle=\alpha\}\) si \(\alpha\in\mathbf{R}\).

[oraux/ex1867] centrale PSI 2009 Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c,d)\in\mathbf{R}^4\) pour que le plan d’équation \(ax+by+cz+d=0\) soit tangent à la surface d’équation : \(\displaystyle{x^2\over\alpha^2}+{y^2\over\beta^2}+{z^2\over\gamma^2}=1\).

[oraux/ex9505] centrale PSI 2014 Soit \((a,b)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\). Nature de la surface d’équation \(a^{xy}=b^z\) ?

[concours/ex5768] mines MP 2007 On considère la quadrique \[\mathscr{S}\ :\ -2x^2+y^2-2z^2-4yz-4xy-2xz-6x-6y-6z=a,\] avec \(a\in\mathbf{R}\). Nature et forme réduite de \(\mathscr{S}\) ?