Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex1158] Soit \(\Sigma\) : \(z^2+4x^2+2y^2=1\). Montrer que la courbe de contact de \(\Sigma\) et du cône de sommet \(S(0,0,a)\) circonscrit à \(\Sigma\) est plane (\(a\not\in\left]-1,1\right[\)).

[oraux/ex1809] mines MP 2006 Équation réduite et nature de la surface d’équation : \[2x^2+2y^2+z^2+2xy-2xz-yz+4x-2y-z+3=0.\]

[oraux/ex4228] centrale MP 2011

1. Soient \(a\), \(b\), \(c\) des réels tels que \(b\leqslant c\). Montrer que \(a\) est dans \([b,c]\) si et seulement s’il existe \(y\) et \(z\) dans \(\mathbf{R}\) tels que : \(y^2+z^2=1\), \(by^2+cz^2=a\).

2. Soient \(a\), \(b\), \(c\) des réels tels que \(b\leqslant a\leqslant c\). Montrer qu’existent \(\alpha\) dans \(\mathbf{R}\) et \(P\) dans \(\mathscr{O}_3(\mathbf{R})\) tels que : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(a,b,c)={}^tP\left(\begin{array}{ccc}a&0&0\\0&a&\alpha\\ 0&\alpha&b+c-a\end{array}\right)P\).

3. Soient \(\mathscr{E}\) un ellipsoïde de \(\mathbf{R}^3\) centré en l’origine. Montrer qu’existe un plan \(P\) passant par l’origine tel que \(P\cap\mathscr{E}\) soit un cercle. Montre que les plans parallèles à \(P\) qui coupent \(\mathscr{E}\) le coupent selon un cercle. Déterminer les plans coupant \(\mathscr{E}\) selon un cercle.

[oraux/ex1807] mines MP 2006 Reconnaître et réduire la quadrique d’équation : \[2x^2+2y^2+z^2+2xz-2yz+4x-2y-z+3=0.\]

[concours/ex3819] centrale M 1992 Soit \((\Sigma)\) et \((\Sigma')\) les surfaces d’équations respectives \(az=xy\) et \(bz=xy\), \(a>0\), \(b>0\).

1. Nature des surfaces \((\Sigma)\) et \((\Sigma')\) ?

2. Base du plan tangent à \((\Sigma)\) au point \(M(x,y,z)\) ?

3. Trouver les courbes \((\gamma)\) tracées sur \((\Sigma)\) telles que toutes les tangentes à \((\gamma)\) soient tangentes à \((\Sigma')\).