Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex3346] centrale M 1993

1. Soit \(E\) un espace euclidien de dimension finie \(n\), et \(u\) un endomorphisme symétrique de \(E\). On pose : \[\mathscr{C}=\{x\in E\mid(u(x)\mid x)=0\}.\] Montrer que \(\mathscr{C}\) contient une base orthonormée si, et seulement si, \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=0\).

2. Dans l’espace affine euclidien \(\mathbf{R}^3\), on considère la parabole \((\mathscr{P})\) : \(y^2=2px\), \(z=0\). Déterminer les points \(M\) de l’espace tels qu’il passe par \(M\) trois droites orthogonales s’appuyant sur \((\mathscr{P})\).

[oraux/ex9511] centrale PC 2014 (avec Maple)

Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(A=\pmatrix{a&c&b\cr c&b&a\cr b&a&c}\).

1. Montrer que \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geqslant 0\). À quelle condition a-t-on égalité ?

2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Que dire de ses valeurs propres ?

3. Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(\mathscr{Q}\) d’équation \[a(x^2+2yz)+b(y^2+2xz)+c(z^2+2xy)=0.\]

   1. Tracer \(\mathscr{Q}\) pour \((a,b,c)=(1,2,-2/3)\), puis pour \((a,b,c)=(-1,-2,2/3)\).

   2. Caractériser cette surface.

   3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(\mathscr{Q}\) soit une surface de révolution.

[oraux/ex1803] tpe PC 2005 Trouver le lieu \((S)\) des points équidistants de l’axe \(Oz\) et de la droite d’équation \(\left\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\z=0.\end{array}\right.\) Trouver les droites incluses dans \((S)\).

[oraux/ex4228] centrale MP 2011

1. Soient \(a\), \(b\), \(c\) des réels tels que \(b\leqslant c\). Montrer que \(a\) est dans \([b,c]\) si et seulement s’il existe \(y\) et \(z\) dans \(\mathbf{R}\) tels que : \(y^2+z^2=1\), \(by^2+cz^2=a\).

2. Soient \(a\), \(b\), \(c\) des réels tels que \(b\leqslant a\leqslant c\). Montrer qu’existent \(\alpha\) dans \(\mathbf{R}\) et \(P\) dans \(\mathscr{O}_3(\mathbf{R})\) tels que : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(a,b,c)={}^tP\left(\begin{array}{ccc}a&0&0\\0&a&\alpha\\ 0&\alpha&b+c-a\end{array}\right)P\).

3. Soient \(\mathscr{E}\) un ellipsoïde de \(\mathbf{R}^3\) centré en l’origine. Montrer qu’existe un plan \(P\) passant par l’origine tel que \(P\cap\mathscr{E}\) soit un cercle. Montre que les plans parallèles à \(P\) qui coupent \(\mathscr{E}\) le coupent selon un cercle. Déterminer les plans coupant \(\mathscr{E}\) selon un cercle.

[oraux/ex1809] mines MP 2006 Équation réduite et nature de la surface d’équation : \[2x^2+2y^2+z^2+2xy-2xz-yz+4x-2y-z+3=0.\]