Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4005] mines PSI 2011 Nature de la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\) ? Équation des plans tangents ?

[oraux/ex1820] ccp PSI 2006 Soit \((S)\) la surface d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\). Montrer qu’aucune droite parallèle au plan \((xOy)\) n’est contenue dans \((S)\). Soit \(D\) la droite définie par \(x=az+b\) et \(y=cz+d\). Montrer que \(D\) est incluse dans \((S)\) si et seulement si la matrice \(\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) est orthogonale.

[oraux/ex1873] centrale PC 2009 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation : \(x^2+y^2+4z^2=1\).

1. Reconnaître \(\mathscr{S}\). La tracer puis en donner un paramétrage.

2. Soit \(u=(1,1,1)\). Existe-t-il un vecteur normal à la surface et orthogonal à \(u\) ?

3. Soit \(\mathscr{P}\) le plan d’équation \(x+2y+4z=0\). Donner une base orthonormale adaptée à \(\mathscr{P}\).

4. Donner une équation de \(\mathscr{S}\) dans la base obtenue à la question précédente.

[oraux/ex4399] centrale PC 2011 Soient, pour \(a\in\mathbf{R}\), \(S_a=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^2,\ xy+xz+yz=a\}\) et, pour \(\lambda\in\mathbf{R}\), \(\Pi_\lambda=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+y+z=\lambda\}\).

1. Déterminer \(\Pi_\lambda\cap S_a\). Déterminer la distance de \(O\) à \(\Pi_\lambda\).

2. Montrer que \(S_a\) est une surface de révolution d’axe à préciser. Donner son équation dans une base orthonormée bien choisie.

3. Montrer que \(S_0\) est réunion de droites.

4. Si \(a\neq0\), montrer que \(S_a\) se déduit de \(S_{-1}\) ou de \(S_{-1}\) par une homothétie.

[concours/ex4191] mines M 1990 Déterminer, selon \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\), la nature de la surface d’équation : \[(b^2+c^2)x^2+(c^2+a^2)y^2+(a^2+b^2)z^2-2abxy-2bcyz-2cazx=0.\]