Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex2054] centrale MP 1999 Soit \(\Sigma=\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mid x^2+y^2-z^2-2bxy=0\right\}\) où \(b\in\mathbf{R}\).

1. Quelle est la nature de \(\Sigma\) ?

2. Trouver les plans coupant \(\Sigma\) suivant deux droites orthogonales.

[fct.R2/ex0462] Identifier la surface d’équation \(x^2+4z^2=2y\).

[oraux/ex1880] mines PC 2010 Soient \((S)\) la surface d’équation \(x^2-y^2+z^2=1\) et \((P)\) le plan d’équation \(2x+y-z=2\). Déterminer les points de \((S)\) en lesquels le plan tangent est parallèle à \((P)\).

[concours/ex4032] polytechnique M 1990 Soit \(\Phi\) la forme quadratique sur \(\mathbf{R}^3\) définie par : \((x,y,t)\mapsto x^2+y^2-t^2\). Soit \[H=\left\{X\in\mathbf{R}^3\mid\Phi(X)=-1\right\}.\] Si \(P\in H\), \(T_H(P)\) est le plan vectoriel tangent en \(P\) à \(H\), et \(\Phi_P\) la restriction de \(\Phi\) à \(T_H(P)\).

Soit \(S=(0,0,-1)\) ; l’application \(\psi:H\setminus\{S\}\rightarrow\mathbf{R}^2\) est définie par : \(\psi(P)\) est l’intersection avec \(t=0\) de la droite \((SP)\).

Etudier \(\Phi_P\). Montrer que, si deux courbes de \(H\) de classe \(C^\infty\) se croisent en \(P\) selon l’angle \(\alpha\), il en est de même en \(\psi(P)\) de leurs images par \(\psi\).

[oraux/ex9428] polytechnique MP 2013

1. Parmi les triangles à côtés entiers ayant un angle de \(2\pi/3\), déterminer ceux de périmètre minimal.

2. Préciser la nature de la surface de \(\mathbf{R}^3\) d’équation \(z^2-x^2-y^2-xy=0\). Déterminer les symétries orthogonales de \(\mathbf{R}^3\) la préservant.

3. On considère un triangle \(ABC\) ayant un angle de \(2\pi/3\) au point \(A\). On note \(a=BC\), \(b=AC\) et \(c=AB\). Montrer que tout triangle de côtés respectifs \(b\), \(a\) et \(b+c\) possède un angle de \(\pi/3\). Donner un procédé géométrique permettant d’obtenir un tel triangle à partir de \(ABC\). Faire de même pour construire un triangle de côtés respectifs \(c\), \(a\) et \(b+c\).