Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex9438] mines MP 2013 Étudier la surface d’équation \[5x^2+13y^2+10z^2-6xy-12xz-4yz-14=0.\]

[oraux/ex1878] polytechnique MP 2010 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(\mathscr{E}\) un ellipsoïde centré sur \(O\). Soient \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) trois points de \(\mathscr{E}\) tels que \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_1}}{\overrightarrow{OA_1}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_1}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_1}}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_2}}{\overrightarrow{OA_2}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_2}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_2}}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_3}}{\overrightarrow{OA_3}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_3}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_3}}\) soient orthogonaux deux à deux. Montrer que \(\displaystyle{1\over OA_1^2}+{1\over OA_2^2}+{1\over OA_3^2}\) ne dépend que de \(\mathscr{E}\).

[concours/ex2556] centrale M 1995 Soit \(S\) la surface d’équation \(z=\sqrt{x^2+y^2+a}\). Reconnaître \(S\). Discuter l’existence sur \(S\) de courbes bi-régulières dont la normale principale reste tangente à \(S\).

[fct.R2/ex0653] Montrer que les surfaces \(x^2+y^2+z^2-8x-8y-6z+24=0\) et \(x^2+3y^2+2z^2=9\) sont tangentes en \((2,1,1)\).

[concours/ex3252] mines M 1993 Dans un espace affine euclidien de dimension \(3\), on donne deux droites \(D_1\) et \(D_2\). Équation de la surface engendrée par l’intersection de deux plans orthogonaux passant respectivement par \(D_1\) et \(D_2\). Nature ?