Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0458] Montrer que le plan \(2x-y-2z=10\) coupe le paraboloïde \(2z=\displaystyle{x^2\over9}+{y^2\over4}\) en un seul point, et trouver les coordonnées de ce point.

[fct.R2/ex0989] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[z=4x^2-y^2.\]

[fct.R2/ex0465] Montrer que l’intersection des deux surfaces : \[x^2+3y^2-z^2+3x=0\qquad\hbox{et}\qquad2x^2+6y^2-2z^2-4y=3\] est une courbe plane.

[oraux/ex4414] centrale PC 2011 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique orientée. Soit \(\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\) la base canonique. Soit \(\Sigma\) la surface d’équation \(x^2-2yz+4z^2=1\) dans la base canonique.

1. Montrer qu’il existe une base orthonormée directe \(e=(\varepsilon_1,e_2,e_3)\) dans laquelle l’équation de \(\Sigma\) est \(X^2+\alpha Y^2+\beta Z^2=1\).

2. Déterminer l’angle de la rotation \(r\) d’axe dirigé par \(\varepsilon_1\) telle que \(r(\varepsilon_2)=e_2\) et \(r(\varepsilon_3)=e_3\).

3. Déterminer l’intersection de \(\Sigma\) et du plan d’équation \(x=0\). Quelle est la nature de cette courbe ? son excentricité ?

[oraux/ex3950] mines MP 2011 Donner les éléments de la quadrique d’équation : \[13x^2+10y^2+5z^2-4xy-6xz-12yz-14=0.\]