Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1758] centrale 2003 Soit \(U\in\mathbf{R}^n\), \(\alpha\) réel. On pose, pour \(X\in\mathbf{R}^n\) : \[Q(X)={}^tXX+\alpha({}^tUX)^2.\]

1. \(Q\) est-elle une forme quadratique ? Si oui, donner sa signature.

2. Réduire et dessiner la quadrique d’équation \(Q(X)=1\) pour \(n=3\) et \(U=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\).

[fct.R2/ex0646] Par chaque point sur la surface \(z=ax^2+by^2\) qui se trouve à une distance \(h\) au-dessus du plan \(Oxy\), on mène la normale à la surface. Calculer l’équation de la courbe formée par les intersections de ces normales avec le plan \(Oxy\).

[fct.R2/ex0462] Identifier la surface d’équation \(x^2+4z^2=2y\).

[oraux/ex1816] centrale PC 2006 Caractériser la surface donnée, dans \(\mathbf{R}^3\) muni de son repère orthonormé canonique, par : \[y^2+xy-xz-yz-3x-5y=0.\]

[oraux/ex5694] centrale PSI 2012 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure affine euclidienne canonique. Soient \(\mathcal{P}=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\;2x+3y-z=0\}\) et \(\mathcal{C}=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\;x^2+y^2=z^2\}\). Reconnaître \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{C}\). Montrer que leur intersection est constituée de deux droites ; déterminer l’angle entre ces droites.