Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1730] mines PC 2010 On se place dans \(\mathbf{R}^3\) muni de sa structure euclidienne canonique. Soit \(a>0\). Déterminer l’ensemble des courbes de classe \(\mathscr{C}^1\) régulières tracées dans \(x^2+y^2=a\) et telles qu’en tout point la tangente à la courbe soit tangente à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2=2a^2\).

[planches/ex4731] polytechnique MP 2019 Décrire et représenter \(\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ x^2+y^2+z^2-2xz=1,\ x+z=0\}\).

[concours/ex3348] centrale M 1993 Discuter la nature et comparer les coniques : \[\left\{\begin{array}{rcl} (ax+by)^2+(a'x+b'y)^2 &=& c\\ (ax+a'y)^2+(bx+b'y)^2 &=& c, \end{array}\right.\] puis les quadriques : \[\left\{\begin{array}{rcl} (ax+by+cz)^2+(a'x+b'y+c'z)^2+(a''x+b''y+c''z)^2 &=& d\\ (ax+a'y+a''z)^2+(bx+b'y+b''z)^2+(cx+c'y+c''z)^2 &=& d. \end{array}\right.\]

[concours/ex4047] polytechnique pox P 1990 Nature de la surface d’équation : \[(x+y)(y-z)+3x-5y=0.\]

[concours/ex4048] polytechnique pox P 1990 Nature de la surface d’équation : \[2x^2+5y^2-2z^2-8yz-6y+2z=0.\]

[concours/ex3816] centrale M 1992 Déterminer le tétraèdre de volume maximal inscrit dans une sphère de rayon \(R\), calculer son volume en fonction de \(R\). Reprendre l’exercice en remplaçant la sphère par un ellipsoïde.

[fct.R2/ex0649] Calculer les équations de la tangente à la courbe intersection des surfaces \(x^2+2y^2+2z^2=5\) et de \(3x-2y-z=0\) en \((1,1,1)\).

[oraux/ex1816] centrale PC 2006 Caractériser la surface donnée, dans \(\mathbf{R}^3\) muni de son repère orthonormé canonique, par : \[y^2+xy-xz-yz-3x-5y=0.\]

[oraux/ex3951] mines MP 2011 Soient \(S\) la surface d’équation \(xy=z^2\) de \(\mathbf{R}^3\), \(D\) la droite d’équations \(x=2\), \(y=3z-3\). Déterminer les points réguliers de \(S\) en lesquels le plan tangent à \(S\) contient \(D\).

[oraux/ex1861] mines PC 2009 Soient \((a,b,c)\in(\mathbf{R}_+^*)^3\) et \(\mathscr{S}\) la surface d’équation : \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\). Déterminer les plans tangents à \(\mathscr{S}\) coupant \((Ox)\), \((Oy)\) et \((Oz)\) respectivement en \(A\), \(B\), \(C\) avec \(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\).

[concours/ex4309] centrale M 1990 Soit \(\Sigma\) : \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-pz=0\). On coupe par un plan variable contenant \((Ox)\). Déterminer la nature de l’intersection et l’ensemble des centres de courbure en \(O\) de ces intersections.

[fct.R2/ex0453] Décrire et tracer le graphe de \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}={z^2\over c^2}\), où \(a\), \(b\), \(c>0\).

[concours/ex2053] centrale MP 1999 Quelles sont les droites contenues dans la surface d’équation \[2xy+4yz+6zx=b\] où \(b\in\mathbf{R}\) ?

[oraux/ex5694] centrale PSI 2012 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure affine euclidienne canonique. Soient \(\mathcal{P}=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\;2x+3y-z=0\}\) et \(\mathcal{C}=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\;x^2+y^2=z^2\}\). Reconnaître \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{C}\). Montrer que leur intersection est constituée de deux droites ; déterminer l’angle entre ces droites.

[fct.R2/ex0450] Décrire et tracer le graphe de \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\), où \(a\), \(b\), \(c>0\).

[oraux/ex1893] centrale PC 2010 Soient \(a>0\), \(s(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-a^2\), \(p(x,y,z)=(x+y+z)^2-a^2\), \((S)\) la surface d’équation \(s=0\), \((P)\) la surface d’équation \(p=0\) et \((\Sigma_u)\) la surface d’équation \(\alpha s+p=0\).

1. Déterminer \(S\cap P\).

2. Déterminer les \(\alpha\in\mathbf{R}\) tels que \(O\in\Sigma_u\). Quelle est la nature de ces surfaces ?

[fct.R2/ex0461] Identifier la surface d’équation \(25x^2-y^2-z^2=25\).

[concours/ex2628] tpe, int, ivp M 1995 Droites parallèles au plan \(z=0\) et qui rencontrent \(D:\{x=0;\ y=2a\}\) et \(\Gamma:\{x^2+y^2-z^2=4a^2;\ x^2+y^2-4ay=0\}\).

[planches/ex8820] centrale PC 2022 On fixe un réel \(a>0\) et on considère \(E=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ 4x^2+2y^2+z^2=16a^2\}\).

1. Montrer que l’ensemble \(\Gamma\) des points de \(E\) en lesquels le plan tangent passe par le point \(A=(0,4a,4a)\) est une courbe plane.

2. On note \(L\) l’intersection de \(E\) avec le plan d’équation \(z=2a\sqrt2\). Montrer qu’une représentation paramétrique de \(L\) est \(t\longmapsto(a\sqrt2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t,2a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t,2a\sqrt2)\).

3. Donner une représentation paramétrique de la réunion \(S\) des normales à \(E\) rencontrant \(L\). Préciser l’intersection de \(S\) avec le plan d’équation \(z=0\).

[concours/ex4032] polytechnique M 1990 Soit \(\Phi\) la forme quadratique sur \(\mathbf{R}^3\) définie par : \((x,y,t)\mapsto x^2+y^2-t^2\). Soit \[H=\left\{X\in\mathbf{R}^3\mid\Phi(X)=-1\right\}.\] Si \(P\in H\), \(T_H(P)\) est le plan vectoriel tangent en \(P\) à \(H\), et \(\Phi_P\) la restriction de \(\Phi\) à \(T_H(P)\).

Soit \(S=(0,0,-1)\) ; l’application \(\psi:H\setminus\{S\}\rightarrow\mathbf{R}^2\) est définie par : \(\psi(P)\) est l’intersection avec \(t=0\) de la droite \((SP)\).

Etudier \(\Phi_P\). Montrer que, si deux courbes de \(H\) de classe \(C^\infty\) se croisent en \(P\) selon l’angle \(\alpha\), il en est de même en \(\psi(P)\) de leurs images par \(\psi\).