Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5767] mines MP 2007 Nature de la surface d’équation : \(x^2+y^2=az^2\) avec \(a\in\mathbf{R}\) ?

[oraux/ex1730] mines PC 2010 On se place dans \(\mathbf{R}^3\) muni de sa structure euclidienne canonique. Soit \(a>0\). Déterminer l’ensemble des courbes de classe \(\mathscr{C}^1\) régulières tracées dans \(x^2+y^2=a\) et telles qu’en tout point la tangente à la courbe soit tangente à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2=2a^2\).

[oraux/ex5777] centrale PC 2012 Soit \((S)\) la surface d’équation \(x^2+y^2=z\).

1. Nature de \((S)\) ?

2. Soient \(a>0\) et \((P)\) le plan d’équation \(z=ax\). Nature (et éventuellement excentricité) de l’intersection de \((P)\) et de \((S)\) ?

[concours/ex2627] tpe, int, ivp M 1995 Soit la surface \(\mathscr{S}\) : \((x+y+z)^2=4yz\) ; angle des plans tangents à \(\mathscr{S}\) incluant la droite : \(\left\{x+2y=0;\ x-z=0\right\}\).

[oraux/ex1870] centrale PC 2009 (avec Maple)

Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(\displaystyle{-6\over5}x^2+2xy+{6\over5}xz+{3\over2}y^2-yz+{7\over10}z^2=0\).

1. Déterminer la nature de \(\mathscr{S}\). Donner un repère dans lequel \(\mathscr{S}\) est sous forme réduite. Représenter \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(\mathscr{S}'\) la quadrique d’équation réduite dans le repère orthonormé direct \((O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\) : \(x^2+2y^2-z^2=0\). Soient \(\Pi\) un plan de \(\mathbf{R}^3\) de vecteur normal unitaire \(\vec n\). À quelle condition l’intersection \(\Pi\cap\mathscr{S}'\) est-elle un cercle ? Déterminer les centres de ces cercles.

[oraux/ex1896] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soit \((E)\) la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\).

1. Représenter \((E)\).

2. Soit \(R\) la rotation d’axe dirigé par \(\vec u(4,3,0)\) et d’angle \(t\). Soit \((x',y',z')\) l’image de \((x,y,z)\) par \(R\). Exprimer \((x',y',z')\) en fonction de \((x,y,z)\).

3. Déterminer une équation de \((E_t)\), image de \((E)\) par \(R\).

[planches/ex4730] polytechnique MP 2019 Décrire et représenter \(\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ x^2+y^2-2xz=0\}\).

[oraux/ex1809] mines MP 2006 Équation réduite et nature de la surface d’équation : \[2x^2+2y^2+z^2+2xy-2xz-yz+4x-2y-z+3=0.\]

[fct.R2/ex0999] Représenter l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient : \[x^2+y^2<z<x+y.\]

[planches/ex8820] centrale PC 2022 On fixe un réel \(a>0\) et on considère \(E=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ 4x^2+2y^2+z^2=16a^2\}\).

1. Montrer que l’ensemble \(\Gamma\) des points de \(E\) en lesquels le plan tangent passe par le point \(A=(0,4a,4a)\) est une courbe plane.

2. On note \(L\) l’intersection de \(E\) avec le plan d’équation \(z=2a\sqrt2\). Montrer qu’une représentation paramétrique de \(L\) est \(t\longmapsto(a\sqrt2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t,2a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t,2a\sqrt2)\).

3. Donner une représentation paramétrique de la réunion \(S\) des normales à \(E\) rencontrant \(L\). Préciser l’intersection de \(S\) avec le plan d’équation \(z=0\).

[oraux/ex1890] centrale PC 2010 Soit \(\Gamma\) la courbe de \(\mathbf{R}^3\) intersection de \(x^2+y^2+z^2=4\) et de \(x^2+y^2-2x=0\).

1. Déterminer un vecteur tangent en chaque point de \(\Gamma\).

2. Déterminer une équation cartésienne du projeté orthogonal de \(\Gamma\) sur \((yOz)\).

[concours/ex6143] centrale PC 2007 Soient \(a\in\mathbf{R}_+^*\) et \(\mathscr{C}\) la courbe intersection des surfaces \(x^2+y^2+z^2=a^2\) et \(x^2+y^2=ax\).

1. Déterminer les points réguliers de \(\mathscr{C}\).

2. Soit \(P\) le point d’intersection de la tangente à \(\mathscr{C}\) en un point \(M\) avec le plan \(z=0\). Déterminer le lieu des points \(P\) lorsque \(M\) parcourt \(\mathscr{C}\).

[oraux/ex1866] centrale PSI 2009 Soient \(\mathscr{C}\) et \(\mathscr{D}\) les surfaces de \(\mathbf{R}^3\) d’équations respectives : \(2x-3y+z=0\) et \(x^2+y^2-z^2=0\).

1. Reconnaître \(\mathscr{C}\) et \(\mathscr{D}\).

2. Montrer que leur intersection est constituée de deux droites. Déterminer l’angle entre ces droites.

[concours/ex2922] centrale M 1994 Soit \(S\) la surface \(\{x^2-y^2-z^2=a^2\}\) (\(a>0\)). Soit \(\Sigma\) l’ensemble des projetés de \(O\) sur les plans tangents à \(S\).

1. Reconnaître \(S\).

2. Étudier \(\Sigma\). Tracer sa méridienne.

3. Calculer le volume intérieur à \(\Sigma\).

[oraux/ex5778] centrale PC 2012 Dans \(\mathbf{R}^3\), soient \((S)\) d’équation \(x^2+y^2+z^2=1\), \((\Sigma)\) d’équation \(x^2+y^2-2x=0\), et \(({\cal C})\) l’intersection de \((S)\) et de \((\Sigma)\).

1. Préciser la nature de \((S)\) et de \((\Sigma)\).

2. Montrer que tout point de \(({\cal C})\) est régulier.

3. Déterminer les projections orthogonales de \(({\cal C})\) sur les plans \((x=0)\), \((y=0)\) et \((z=0)\).

[oraux/ex1878] polytechnique MP 2010 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(\mathscr{E}\) un ellipsoïde centré sur \(O\). Soient \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) trois points de \(\mathscr{E}\) tels que \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_1}}{\overrightarrow{OA_1}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_1}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_1}}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_2}}{\overrightarrow{OA_2}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_2}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_2}}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_3}}{\overrightarrow{OA_3}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_3}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_3}}\) soient orthogonaux deux à deux. Montrer que \(\displaystyle{1\over OA_1^2}+{1\over OA_2^2}+{1\over OA_3^2}\) ne dépend que de \(\mathscr{E}\).

[concours/ex4312] centrale M 1990 Soit \(S\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}-{y^2\over a^2}-{z^2\over a^2}=1\) ; l’identifier. Trouver \(\Sigma\), ensemble des projections orthogonales de \(O\) sur les plans tangents à \(S\). Volume intérieur à \(\Sigma\).

[oraux/ex1804] mines MP 2006 Reconnaître la surface d’équation \(z=x^2-y^2\).

[oraux/ex1780] mines PSI 2005 Dessiner un paraboloïde elliptique.

[oraux/ex1844] mines PC 2008 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\). Déterminer les points de cette surface en lesquels le plan tangent est parallèle à un plan donné.