Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0652] Montrer que les surfaces \(x^2+y^2+z^2=18\) et \(xy=9\) sont tangentes en \((3,3,0)\).

[concours/ex2628] tpe, int, ivp M 1995 Droites parallèles au plan \(z=0\) et qui rencontrent \(D:\{x=0;\ y=2a\}\) et \(\Gamma:\{x^2+y^2-z^2=4a^2;\ x^2+y^2-4ay=0\}\).

[planches/ex1800] polytechnique MP 2017 Dans \(\mathbf{R}^3\), représenter la surface \(\mathscr{S}\) d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\). Décrire l’intersection de cette surface avec le plan d’équation \(z=C\).

[oraux/ex1880] mines PC 2010 Soient \((S)\) la surface d’équation \(x^2-y^2+z^2=1\) et \((P)\) le plan d’équation \(2x+y-z=2\). Déterminer les points de \((S)\) en lesquels le plan tangent est parallèle à \((P)\).

[planches/ex9542] polytechnique PSI 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois réels strictement positifs.

On pose \(E=\displaystyle\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2+\left(\frac{z}{c}\right)^2=1\right\}\).

On suppose que \(A\), \(B\), \(C\) sont trois points distincts de \(E\) tels que le plan tangent à \(E\) en \(A\) est parallèle à \((BC)\), le plan tangent à \(E\) en \(B\) est parallèle à \((CA)\), le plan tangent à \(E\) en \(C\) est parallèle à \((AB)\).

Calculer le volume du parallélépipède engendré par les vecteurs \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\).

[oraux/ex1839] mines MP 2008 Nature de la quadrique d’équation \(z^2=xy\).

[concours/ex1191] polytechnique PC 1998 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont trois réels non nuls. Trouver l’ensemble des points \(P\) par lesquels passent trois plans tangents à \(\mathscr{S}\) et perpendiculaires deux à deux.

[oraux/ex1878] polytechnique MP 2010 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(\mathscr{E}\) un ellipsoïde centré sur \(O\). Soient \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) trois points de \(\mathscr{E}\) tels que \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_1}}{\overrightarrow{OA_1}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_1}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_1}}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_2}}{\overrightarrow{OA_2}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_2}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_2}}\), \(\mathchoice{\overrightarrow{OA_3}}{\overrightarrow{OA_3}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OA_3}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OA_3}}\) soient orthogonaux deux à deux. Montrer que \(\displaystyle{1\over OA_1^2}+{1\over OA_2^2}+{1\over OA_3^2}\) ne dépend que de \(\mathscr{E}\).

[planches/ex3294] polytechnique MP 2018 Représenter dans \(\mathbf{R}^3\) les surfaces d’équations \(x^2+y^2-z^2=1\) et \(x^2+y^2-z^2=0\).

[oraux/ex9442] mines PC 2013 Soient \(a>0\) et \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(x^2+a^2=ax\). Déterminer la nature de \(\mathscr{S}\). Donner une condition sur \(a\) pour qu’il existe un point de \(\mathscr{S}\) en lequel le plan tangent est orthogonal à \((1,0,1)\).

[fct.R2/ex0644] Calculer un vecteur tangent au point \((2,1,4)\) à la courbe intersection du cône \(z^2=3x^2+4y^2\) et du plan \(3x-2y+z=8\).

[oraux/ex1867] centrale PSI 2009 Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b,c,d)\in\mathbf{R}^4\) pour que le plan d’équation \(ax+by+cz+d=0\) soit tangent à la surface d’équation : \(\displaystyle{x^2\over\alpha^2}+{y^2\over\beta^2}+{z^2\over\gamma^2}=1\).

[oraux/ex4410] centrale PC 2011 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(3(x^2+y^2)=z^2\).

1. Caractériser \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(\mathscr{C}\) l’intersection de \(\mathscr{S}\) et du plan d’équation \(z=\sqrt3\). Déterminer \(\mathscr{C}\). À l’aide de \(\mathscr{C}\) donner une paramétrisation de \(\mathscr{S}\).

3. Déterminer l’angle que font les génératrices avec \(\mathscr{C}\).

4. Soient \(\Gamma:t\mapsto(f(t),g(t),h(t))\) une courbe de classe \(\mathscr{C}^1\). Déterminer l’équation du plan tangent à \(\mathscr{S}\) en \(\Gamma(t_0)\).

[oraux/ex9478] télécom PSI 2013 Reconnaître \[\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ 2x^2+2y^2-z^2+5xy-yz+xz=0\}.\]

[oraux/ex1895] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soit \((S)\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over9}+y^2-{z^2\over4}=1\).

1. Nature de \((S)\) ? Donner un paramétrage de \((S)\). Tracer \((S)\) à l’aide de Maple.

2. Déterminer l’intersection de \((S)\) avec le plan d’équation \(z=\alpha\).

3. Calculer le volume du solide défini par : \(\left\{\displaystyle{x^2\over9}+y^2-{z^2\over4}\leqslant 1,\ a\leqslant z\leqslant b\right\}\).

4. La surface \((S)\) admet-elle des points singuliers ?

5. Donner l’équation du plan tangent à \((S)\) au point \(M(t)=(3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t,0)\).

[oraux/ex1730] mines PC 2010 On se place dans \(\mathbf{R}^3\) muni de sa structure euclidienne canonique. Soit \(a>0\). Déterminer l’ensemble des courbes de classe \(\mathscr{C}^1\) régulières tracées dans \(x^2+y^2=a\) et telles qu’en tout point la tangente à la courbe soit tangente à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2=2a^2\).

[concours/ex2556] centrale M 1995 Soit \(S\) la surface d’équation \(z=\sqrt{x^2+y^2+a}\). Reconnaître \(S\). Discuter l’existence sur \(S\) de courbes bi-régulières dont la normale principale reste tangente à \(S\).

[concours/ex3348] centrale M 1993 Discuter la nature et comparer les coniques : \[\left\{\begin{array}{rcl} (ax+by)^2+(a'x+b'y)^2 &=& c\\ (ax+a'y)^2+(bx+b'y)^2 &=& c, \end{array}\right.\] puis les quadriques : \[\left\{\begin{array}{rcl} (ax+by+cz)^2+(a'x+b'y+c'z)^2+(a''x+b''y+c''z)^2 &=& d\\ (ax+a'y+a''z)^2+(bx+b'y+b''z)^2+(cx+c'y+c''z)^2 &=& d. \end{array}\right.\]

[oraux/ex1871] centrale PC 2009 Étudier la quadrique d’équation \(16x^2-9y^2-9z^2+24x+18=0\) : nature, tracé, paramétrage.

[oraux/ex3950] mines MP 2011 Donner les éléments de la quadrique d’équation : \[13x^2+10y^2+5z^2-4xy-6xz-12yz-14=0.\]