Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4307] centrale PSI 2011 (avec Maple)

Soient \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx-x+y-3z=0\).

1. Représenter \(\mathscr{S}\). Trouver une équation réduite. Déterminer l’ensemble des cercles inclus dans \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(u=(1,1,1)\). Déterminer l’ensemble \(\Gamma_u\) des points de \(\mathscr{S}\) en lesquels le plan tangent contient \(u\). Tracer \(\Gamma_u\). Déterminer le cylindre constitué des droites passant par \(\Gamma_u\) et dirigées par \(u\).

[concours/ex2054] centrale MP 1999 Soit \(\Sigma=\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mid x^2+y^2-z^2-2bxy=0\right\}\) où \(b\in\mathbf{R}\).

1. Quelle est la nature de \(\Sigma\) ?

2. Trouver les plans coupant \(\Sigma\) suivant deux droites orthogonales.

[concours/ex3253] mines M 1993 Soit \(P\) la surface d’équation \[{z\over h}={x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}\] et \(\Pi\) un plan contenant l’axe \(Ox\). Soit \(\Gamma_\Pi\) l’intersection de \(P\) et de \(\Pi\). Trouver le lieu du centre de courbure en \(O\) à \(\Gamma_\Pi\).

[oraux/ex1872] centrale PC 2009 Nature de la quadrique d’équation \(x^2-xy-y^2+z^2-3x-1=0\).

[concours/ex2549] centrale M 1995 Nature de la surface \(\Sigma\) d’équation \(2xy-xz+2yz=0\). Déterminer son intersection avec le plan \(x+y+z=0\). La surface \(\Sigma\) contient-elle des cercles ?

[concours/ex4047] polytechnique pox P 1990 Nature de la surface d’équation : \[(x+y)(y-z)+3x-5y=0.\]

[fct.R2/ex0640] Calculer l’équation du plan tangent à la sphère \(x^2+y^2+z^2=1\) au point \(\left(\displaystyle{1\over2},{1\over2},{1\over\sqrt2}\right)\).

[concours/ex4309] centrale M 1990 Soit \(\Sigma\) : \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-pz=0\). On coupe par un plan variable contenant \((Ox)\). Déterminer la nature de l’intersection et l’ensemble des centres de courbure en \(O\) de ces intersections.

[oraux/ex1765] centrale 2004 Soit des réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(0<c<b<a\). Pour tout \(\lambda\) réel autre que \(-a\), \(-b\), \(-c\), on note \(Q_\lambda\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over\lambda+a}+{y^2\over\lambda+b}+{z^2\over\lambda+c}=0\).

1. Étudier, selon \(\lambda\), la nature de \(Q_\lambda\).

2. Soit \(M\in\mathbf{R}^3\) un point dont aucune coordonnée n’est nulle. Montrer qu’il existe exactement trois réels \(\lambda\) tels que \(M\in Q_\lambda\).

3. Montrer que les plans tangents en \(M\) aux trois surfaces \(Q_\lambda\) passant par \(M\) sont deux à deux perpendiculaires.

[oraux/ex1863] centrale MP 2009

1. Montrer qu’un ellipsoïde, un paraboloïde elliptique et un hyperboloïde à deux nappes ne sont pas des surfaces réglées.

2. Soit \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) un paraboloïde hyperbolique d’équation cartésienne réduite \(\displaystyle{z^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=2z\) avec \(a>0\) et \(b>0\).

   1. Montrer que, par tout point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) passent deux droites incluses dans \(\mathscr{P}\mathscr{H}\).

   2. Proposer un paramétrage de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) de la forme \((u,t)\mapsto M(u,t)\) où \(M(u,0)=(au,0,u^2/2)\) et tel que, pour tout \(u\), \(t\mapsto M(u,t)\) paramètre une droite.

   3. Proposer un paramétrage \((\lambda,\mu)\mapsto P(u,t)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\)tel que, pour tout \(\lambda\), \(\mu\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite, et pour tout \(\mu\), \(\lambda\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite.

[concours/ex3818] centrale M 1992 Soit \((P)\) le paraboloïde elliptique \[x^2+\alpha y^2=2pz\quad(\alpha>1,\quad p>0).\] trouver les sphères \((S)\) telles que \((S)\cap (P)\) soit un cercle.

[concours/ex2412] mines M 1995 Plans tangents communs à \(\{z=0,x^2+y^2=1\}\) et \(\{2xy=z\}\).

[oraux/ex4135] mines PC 2011 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(2x^2-y^2-3z=0\).

1. Nature de \(\mathscr{S}\) ?

2. Déterminer les points de \(\mathscr{S}\) en lesquels le plan tangent à \(\mathscr{S}\) est parallèle au plan d’équation \(x-y+z=0\).

[concours/ex3252] mines M 1993 Dans un espace affine euclidien de dimension \(3\), on donne deux droites \(D_1\) et \(D_2\). Équation de la surface engendrée par l’intersection de deux plans orthogonaux passant respectivement par \(D_1\) et \(D_2\). Nature ?

[concours/ex2626] tpe, int, ivp M 1995 Montrer que la surface d’équation : \[(x-y)(x-z)+(y-z)(y-x)+(z-x)(z-y)+x-y=0\] est de révolution. Axe, nature de cette surface.

[oraux/ex4410] centrale PC 2011 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(3(x^2+y^2)=z^2\).

1. Caractériser \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(\mathscr{C}\) l’intersection de \(\mathscr{S}\) et du plan d’équation \(z=\sqrt3\). Déterminer \(\mathscr{C}\). À l’aide de \(\mathscr{C}\) donner une paramétrisation de \(\mathscr{S}\).

3. Déterminer l’angle que font les génératrices avec \(\mathscr{C}\).

4. Soient \(\Gamma:t\mapsto(f(t),g(t),h(t))\) une courbe de classe \(\mathscr{C}^1\). Déterminer l’équation du plan tangent à \(\mathscr{S}\) en \(\Gamma(t_0)\).

[oraux/ex4134] mines PC 2011 Nature de la surface d’équation : \(x-3y^2+7z^2=0\) ?

[fct.R2/ex0460] Identifier la surface \(9x^2-y^2+16z^2=144\).

[fct.R2/ex0450] Décrire et tracer le graphe de \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\), où \(a\), \(b\), \(c>0\).

[concours/ex4312] centrale M 1990 Soit \(S\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}-{y^2\over a^2}-{z^2\over a^2}=1\) ; l’identifier. Trouver \(\Sigma\), ensemble des projections orthogonales de \(O\) sur les plans tangents à \(S\). Volume intérieur à \(\Sigma\).