Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex1163] Soit \(\Sigma\) : \(x^2+y^2-2az=0\). Trouver les arcs \(C^1\) réguliers de \(\Sigma\) tels que la tangentes en \(M\) à l’arc rencontre \(Oz\) suivant un angle constant.

[fct.R2/ex0451] Décrire et tracer le graphe de \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-{z^2\over c^2}=1\), où \(a\), \(b\), \(c>0\).

[concours/ex0311] mines MP 1996 Trouver les courbes tracées sur la surface d’équation \(x^2+y^2-2z=0\) (repère orthonormé) telles que les tangentes fassent un angle constant \(\alpha\in\left[0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\) avec \(Oz\).

[oraux/ex5695] centrale PSI 2012 Nature de \(K=\left\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\; xy +yz+xz+a(x^2+y^2+z^2)=b\right\}\) suivant \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) ? Pour quelles valeurs l’ensemble \(K\) est-il compact ?

[oraux/ex1872] centrale PC 2009 Nature de la quadrique d’équation \(x^2-xy-y^2+z^2-3x-1=0\).

[fct.R2/ex0646] Par chaque point sur la surface \(z=ax^2+by^2\) qui se trouve à une distance \(h\) au-dessus du plan \(Oxy\), on mène la normale à la surface. Calculer l’équation de la courbe formée par les intersections de ces normales avec le plan \(Oxy\).

[concours/ex2991] tpe, int, iie M 1994 Quels sont les plans coupant la surface d’équation \((x^2+2y^2-z^2=0)\) selon un cercle ?

[concours/ex5768] mines MP 2007 On considère la quadrique \[\mathscr{S}\ :\ -2x^2+y^2-2z^2-4yz-4xy-2xz-6x-6y-6z=a,\] avec \(a\in\mathbf{R}\). Nature et forme réduite de \(\mathscr{S}\) ?

[oraux/ex9478] télécom PSI 2013 Reconnaître \[\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ 2x^2+2y^2-z^2+5xy-yz+xz=0\}.\]

[fct.R2/ex0467] Montrer que le paraboloïde hyperbolique \(z=y^2-x^2\) est une surface réglée, c’est-à-dire, que chacun de ses points se trouve sur une droite qui est entièrement contenue dans la surface.

[oraux/ex1838] mines MP 2008 Nommer la surface d’équation : \(2x^2+y^2+z^2-8yz-2y+2z=0\).

[concours/ex0985] centrale MP 1997 Soit \(\mathscr{P}\) le paraboloïde de révolution défini par \(\mathscr{P}:x^2+y^2=2pz\) (avec \(p>0\)). Trouver le lieu des centres des ellipses d’excentricité \(\displaystyle{1\over\sqrt 2}\) contenues dans \(\mathscr{P}\).

[fct.R2/ex0460] Identifier la surface \(9x^2-y^2+16z^2=144\).

[oraux/ex4135] mines PC 2011 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(2x^2-y^2-3z=0\).

1. Nature de \(\mathscr{S}\) ?

2. Déterminer les points de \(\mathscr{S}\) en lesquels le plan tangent à \(\mathscr{S}\) est parallèle au plan d’équation \(x-y+z=0\).

[oraux/ex9531] polytechnique MP 2016 Tracer dans \(\mathbf{R}^3\) les surfaces d’équations \(x^2+y^2-z^2=1\), \(x^2+y^2-z^2=-1\).

[concours/ex3818] centrale M 1992 Soit \((P)\) le paraboloïde elliptique \[x^2+\alpha y^2=2pz\quad(\alpha>1,\quad p>0).\] trouver les sphères \((S)\) telles que \((S)\cap (P)\) soit un cercle.

[fct.R2/ex0655] Montrer que les trois surfaces : \[\begin{array}{rrcl} \mathscr{S}_1\ :\ {}&14x^2+11y^2+8z^2&=&66\\ \mathscr{S}_2\ :\ {}&3z^2-5x+y&=&0\\ \mathscr{S}_3\ :\ {}&xy+yz-4zx&=&0\end{array}\] sont deux à deux perpendiculaires au point \((1,2,1)\).

[planches/ex4106] navale PSI 2018 Soit \(S\) la surface d’équation \(x^2-y^2-z=1\), \(P\) le plan d’équation \(x+2y-z=0\). Donner l’ensemble des points \(M\) de \(S\) tels que le plan tangent à \(S\) en \(M\) soit parallèle à \(P\).

[oraux/ex1895] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soit \((S)\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over9}+y^2-{z^2\over4}=1\).

1. Nature de \((S)\) ? Donner un paramétrage de \((S)\). Tracer \((S)\) à l’aide de Maple.

2. Déterminer l’intersection de \((S)\) avec le plan d’équation \(z=\alpha\).

3. Calculer le volume du solide défini par : \(\left\{\displaystyle{x^2\over9}+y^2-{z^2\over4}\leqslant 1,\ a\leqslant z\leqslant b\right\}\).

4. La surface \((S)\) admet-elle des points singuliers ?

5. Donner l’équation du plan tangent à \((S)\) au point \(M(t)=(3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t,0)\).

[oraux/ex5777] centrale PC 2012 Soit \((S)\) la surface d’équation \(x^2+y^2=z\).

1. Nature de \((S)\) ?

2. Soient \(a>0\) et \((P)\) le plan d’équation \(z=ax\). Nature (et éventuellement excentricité) de l’intersection de \((P)\) et de \((S)\) ?