Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1808] mines MP 2006 Reconnaître, si \(\alpha\in\mathbf{R}\), la quadrique d’équation : \[x^2+3y^2-3z^2-4xy+2xz-8yz+\alpha x+2y-z=1.\]

[fct.R2/ex0452] Décrire et tracer le graphe de \(\displaystyle{x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}-{z^2\over c^2}=1\), où \(a\), \(b\), \(c>0\).

[planches/ex4106] navale PSI 2018 Soit \(S\) la surface d’équation \(x^2-y^2-z=1\), \(P\) le plan d’équation \(x+2y-z=0\). Donner l’ensemble des points \(M\) de \(S\) tels que le plan tangent à \(S\) en \(M\) soit parallèle à \(P\).

[oraux/ex4135] mines PC 2011 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(2x^2-y^2-3z=0\).

1. Nature de \(\mathscr{S}\) ?

2. Déterminer les points de \(\mathscr{S}\) en lesquels le plan tangent à \(\mathscr{S}\) est parallèle au plan d’équation \(x-y+z=0\).

[fct.R2/ex0649] Calculer les équations de la tangente à la courbe intersection des surfaces \(x^2+2y^2+2z^2=5\) et de \(3x-2y-z=0\) en \((1,1,1)\).

[concours/ex3348] centrale M 1993 Discuter la nature et comparer les coniques : \[\left\{\begin{array}{rcl} (ax+by)^2+(a'x+b'y)^2 &=& c\\ (ax+a'y)^2+(bx+b'y)^2 &=& c, \end{array}\right.\] puis les quadriques : \[\left\{\begin{array}{rcl} (ax+by+cz)^2+(a'x+b'y+c'z)^2+(a''x+b''y+c''z)^2 &=& d\\ (ax+a'y+a''z)^2+(bx+b'y+b''z)^2+(cx+c'y+c''z)^2 &=& d. \end{array}\right.\]

[concours/ex3818] centrale M 1992 Soit \((P)\) le paraboloïde elliptique \[x^2+\alpha y^2=2pz\quad(\alpha>1,\quad p>0).\] trouver les sphères \((S)\) telles que \((S)\cap (P)\) soit un cercle.

[fct.R2/ex0996] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[x^2+y^2+z^2-4x+6y+2z-2=0.\]

[oraux/ex4307] centrale PSI 2011 (avec Maple)

Soient \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx-x+y-3z=0\).

1. Représenter \(\mathscr{S}\). Trouver une équation réduite. Déterminer l’ensemble des cercles inclus dans \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(u=(1,1,1)\). Déterminer l’ensemble \(\Gamma_u\) des points de \(\mathscr{S}\) en lesquels le plan tangent contient \(u\). Tracer \(\Gamma_u\). Déterminer le cylindre constitué des droites passant par \(\Gamma_u\) et dirigées par \(u\).

[concours/ex4312] centrale M 1990 Soit \(S\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}-{y^2\over a^2}-{z^2\over a^2}=1\) ; l’identifier. Trouver \(\Sigma\), ensemble des projections orthogonales de \(O\) sur les plans tangents à \(S\). Volume intérieur à \(\Sigma\).

[oraux/ex9478] télécom PSI 2013 Reconnaître \[\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ 2x^2+2y^2-z^2+5xy-yz+xz=0\}.\]

[oraux/ex1839] mines MP 2008 Nature de la quadrique d’équation \(z^2=xy\).