Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0111] polytechnique MP 1996 Dans l’espace, trouver l’ensemble des points équidistants de deux droites non coplanaires données.

[oraux/ex1791] centrale PSI 2005 On se place dans \(\mathbf{R}^3\) euclidien canonique. Soient \(m\), \(\alpha\in\mathbf{R}^*\) et \(D\), \(D'\) les droites : \[D\left\{\begin{array}{l}y=mx\\z=\alpha\end{array}\right.\quad\hbox{et}\quad \left\{\begin{array}{l}y=-mx\\z=-\alpha.\end{array}\right.\] Trouver l’ensemble des \(M\in\mathbf{R}^3\) tels que \(d(M,D)=d(M,D')\).

[oraux/ex1845] centrale MP 2008 Dans \(\mathbf{R}^3\) affine euclidien, soient \(D\) l’axe \((Oz)\) et \(D'\) la droite passant par \(A(a,0,0)\) avec \(a>0\) et dirigée par le vecteur de coordonnées \((1,1,1)\). Trouver le lieu des points équidistants de ces deux droites.

[oraux/ex4399] centrale PC 2011 Soient, pour \(a\in\mathbf{R}\), \(S_a=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^2,\ xy+xz+yz=a\}\) et, pour \(\lambda\in\mathbf{R}\), \(\Pi_\lambda=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+y+z=\lambda\}\).

1. Déterminer \(\Pi_\lambda\cap S_a\). Déterminer la distance de \(O\) à \(\Pi_\lambda\).

2. Montrer que \(S_a\) est une surface de révolution d’axe à préciser. Donner son équation dans une base orthonormée bien choisie.

3. Montrer que \(S_0\) est réunion de droites.

4. Si \(a\neq0\), montrer que \(S_a\) se déduit de \(S_{-1}\) ou de \(S_{-1}\) par une homothétie.

[oraux/ex5883] ccp PSI 2012 On considère la surface \((S)\) d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\).

1. Montrer qu’il n’existe pas de droite parallèle à \((xOy)\) incluse dans \((S)\).

2. Soit \((D)\) la droite définie par \(x=az+b\) et \(y=cz+d\). Montrer que \((D)\) est incluse dans \((S)\) si, et seulement si, \(\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)\) appartient à \({\cal O}_2(\mathbf{R})\).

3. Montrer que par tout point de \((S)\) passent deux droites incluses dans \((S)\).

[concours/ex2547] centrale M 1995 Soient \(D\) une droite, \(P\) un plan et \(k>0\). Ensemble des points \(M\) de l’espace tels que \(d(M,D)=k\,d(M,P)\).

[concours/ex5766] mines MP 2007 Nature de la surface d’équation : \(xy+yz+zx=1\) ?

[oraux/ex1857] mines PSI 2009 Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la surface d’équation : \[(a^2+b^2)x^2+(a^2+c^2)y^2+(b^2+c^2)z^2-2abxy-2acxz-2bcyz=d.\]

[oraux/ex1782] mines PC 2005 Dans l’espace affine euclidien \(\mathbf{R}^3\), trouver le lieu des points équidistants d’une droite et d’un plan.

[oraux/ex4409] centrale PC 2011 (avec Maple)

Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\).

1. Préciser la nature de \(\mathscr{S}\). En donner un paramétrage. Représenter \(\mathscr{S}\).

2. Déterminer un vecteur normal à \(\mathscr{S}\) en \(M(x,y,z)\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(\vec u(1,2,1)\) soit tangent à \(\mathscr{S}\) en \(M\). On note \(\Gamma\) l’ensemble des points \(M\) en lesquels \(\vec u\) est tangent à \(\mathscr{S}\).

3. Soit \(P\) le plan d’équation \(x+2y+4z=0\). Déterminer une base orthonormée directe de \(\mathbf{R}^3\) dont les deux premiers vecteurs appartiennent à \(P\). Donner l’équation de \(\Gamma\) dans cette base.

[oraux/ex1820] ccp PSI 2006 Soit \((S)\) la surface d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\). Montrer qu’aucune droite parallèle au plan \((xOy)\) n’est contenue dans \((S)\). Soit \(D\) la droite définie par \(x=az+b\) et \(y=cz+d\). Montrer que \(D\) est incluse dans \((S)\) si et seulement si la matrice \(\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) est orthogonale.

[concours/ex4191] mines M 1990 Déterminer, selon \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\), la nature de la surface d’équation : \[(b^2+c^2)x^2+(c^2+a^2)y^2+(a^2+b^2)z^2-2abxy-2bcyz-2cazx=0.\]

[oraux/ex4005] mines PSI 2011 Nature de la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\) ? Équation des plans tangents ?

[oraux/ex1873] centrale PC 2009 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation : \(x^2+y^2+4z^2=1\).

1. Reconnaître \(\mathscr{S}\). La tracer puis en donner un paramétrage.

2. Soit \(u=(1,1,1)\). Existe-t-il un vecteur normal à la surface et orthogonal à \(u\) ?

3. Soit \(\mathscr{P}\) le plan d’équation \(x+2y+4z=0\). Donner une base orthonormale adaptée à \(\mathscr{P}\).

4. Donner une équation de \(\mathscr{S}\) dans la base obtenue à la question précédente.

[oraux/ex4224] centrale MP 2011 (avec Maple)

Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble des points \(M\) équidistants du plan d’équation \(x+y+z=0\) et de la droite d’équations \(x=z\), \(y=0\). Quelle est la nature de cet ensemble ? Le représenter.

[oraux/ex1879] mines MP 2010

1. Reconnaître la quadrique \(Q\) d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\).

2. Déterminer les droites tracées sur \(Q\).

[fct.R2/ex1163] Soit \(\Sigma\) : \(x^2+y^2-2az=0\). Trouver les arcs \(C^1\) réguliers de \(\Sigma\) tels que la tangentes en \(M\) à l’arc rencontre \(Oz\) suivant un angle constant.

[fct.R2/ex0940] Représenter et reconnaître la surface d’équation cartésienne : \[{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-{z^2\over c^2}=1.\] Quelles sont les traces de cette surface sur les plans de coordonnées ?

[concours/ex2625] tpe, int, ivp M 1995 Nature et équation réduite de la quadrique : \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=a\).

[oraux/ex3843] mines MP 2011 Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\) pour que l’ensemble : \[\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ \alpha\left(\vphantom{|_|}\smash{(1+x)^2+(1+y)^2+(1+z)^2} \right)+2\beta(xy+yz+zx)=0\right\}\] soit un compact non vide.