Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0640] Calculer l’équation du plan tangent à la sphère \(x^2+y^2+z^2=1\) au point \(\left(\displaystyle{1\over2},{1\over2},{1\over\sqrt2}\right)\).

[oraux/ex1863] centrale MP 2009

1. Montrer qu’un ellipsoïde, un paraboloïde elliptique et un hyperboloïde à deux nappes ne sont pas des surfaces réglées.

2. Soit \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) un paraboloïde hyperbolique d’équation cartésienne réduite \(\displaystyle{z^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=2z\) avec \(a>0\) et \(b>0\).

   1. Montrer que, par tout point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) passent deux droites incluses dans \(\mathscr{P}\mathscr{H}\).

   2. Proposer un paramétrage de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) de la forme \((u,t)\mapsto M(u,t)\) où \(M(u,0)=(au,0,u^2/2)\) et tel que, pour tout \(u\), \(t\mapsto M(u,t)\) paramètre une droite.

   3. Proposer un paramétrage \((\lambda,\mu)\mapsto P(u,t)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\)tel que, pour tout \(\lambda\), \(\mu\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite, et pour tout \(\mu\), \(\lambda\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite.

[oraux/ex9507] centrale PSI 2014 (avec Maple)

Soit \((S)\) la surface d’équation : \[x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+3x-y+2z=0.\]

1. Trouver l’équation réduite de \((S)\) dans un repère orthonormé que l’on précisera.

2. Soit \(\vec u=(1,1,1)\). Déterminer \(\Gamma_{\vec u}\) la courbe constituée des points \(M\) de \((S)\) tels que la droite \((M,\vec u)\) soit tangente à \((S)\) en \(M\).

3. Tracer \((S)\) et \(\Gamma_{\vec u}\) sur la même figure.

[oraux/ex3950] mines MP 2011 Donner les éléments de la quadrique d’équation : \[13x^2+10y^2+5z^2-4xy-6xz-12yz-14=0.\]

[concours/ex2556] centrale M 1995 Soit \(S\) la surface d’équation \(z=\sqrt{x^2+y^2+a}\). Reconnaître \(S\). Discuter l’existence sur \(S\) de courbes bi-régulières dont la normale principale reste tangente à \(S\).

[oraux/ex9465] centrale PC 2013 Nature (sommet et directrice si c’est un cône) de la surface d’équation \(x(a-z)+y(a-x)+z(a-y)=a\) avec \(a\in\mathbf{R}\) ?

[planches/ex1800] polytechnique MP 2017 Dans \(\mathbf{R}^3\), représenter la surface \(\mathscr{S}\) d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\). Décrire l’intersection de cette surface avec le plan d’équation \(z=C\).

[fct.R2/ex0998] Représenter l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient le système : \[\left\{\begin{array}{rcl} x^2+y^2+z^2&=&1\\ x^2+y^2&=&z^2\end{array}\right.\]

[fct.R2/ex0467] Montrer que le paraboloïde hyperbolique \(z=y^2-x^2\) est une surface réglée, c’est-à-dire, que chacun de ses points se trouve sur une droite qui est entièrement contenue dans la surface.

[oraux/ex1838] mines MP 2008 Nommer la surface d’équation : \(2x^2+y^2+z^2-8yz-2y+2z=0\).