Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4195] mines M 1990 \((S)\) est la surface d’équation \(x^2+y^2=z^2\) (repère orthonormé). Nature de \((S)\) ? Déterminer les courbes de \((S)\) pour lesquelles le plan osculateur est orthogonal au plan tangent à \((S)\).

[oraux/ex1833] polytechnique MP 2008 À quelle condition la quadrique \(a(x^2+2yz)+b(y^2+2xz)+c(z^2+2xy)=1\) est-elle de révolution ?

[oraux/ex1785] centrale MP 2005 Soit \((S)\) la surface d’équation \(z=x^2-y^2\).

1. Reconnaître \((S)\).

2. Indiquer pour quels \((u,v,w,t)\in\mathbf{R}^4\) le plan d’équation \(ux+vy+wz=t\) est tangent à \((S)\).

[concours/ex0478] centrale MP 1996 Soit \(\Sigma\) la surface d’équation \((x^2+y^2)z^2=a^2y^2\), \(a>0\) fixé.

1. Déterminer les droites incluses dans \(\Sigma\).

2. Montrer que toutes ces droites sont tangentes à deux sphères.

3. Déterminer les courbes tracées sur \(\Sigma\) orthogonales à ces droites.

[oraux/ex1792] centrale PSI 2005 Soient \(P=\left\{\vphantom{|_|}\smash{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+y+z=1}\right\}\) et \(S=\left\{\vphantom{|_|}\smash{x^2+y^2+z^2-4x-6y=0}\right\}\). Déterminer \(P\cap S\).

[oraux/ex1834] polytechnique MP 2008 On considère le cône \(C\) d’équation \(ax^2+2bxy+2cxz+dy^2+2eyz+fz^2=0\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe trois génératrices de \(C\) deux à deux orthogonales.

[oraux/ex4307] centrale PSI 2011 (avec Maple)

Soient \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx-x+y-3z=0\).

1. Représenter \(\mathscr{S}\). Trouver une équation réduite. Déterminer l’ensemble des cercles inclus dans \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(u=(1,1,1)\). Déterminer l’ensemble \(\Gamma_u\) des points de \(\mathscr{S}\) en lesquels le plan tangent contient \(u\). Tracer \(\Gamma_u\). Déterminer le cylindre constitué des droites passant par \(\Gamma_u\) et dirigées par \(u\).

[concours/ex0312] mines MP 1996 On considère la surface \(\Sigma\) d’équation \(x^2+y^2-z^2\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits^2\alpha=0\). Déterminer l’ensemble des points de \(\mathbf{R}^3\) par lesquels passent deux plans tangents à \(\Sigma\) orthogonaux entre eux.

[fct.R2/ex0992] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[x^2-4y^2-4z^2=36.\]

[oraux/ex1809] mines MP 2006 Équation réduite et nature de la surface d’équation : \[2x^2+2y^2+z^2+2xy-2xz-yz+4x-2y-z+3=0.\]