Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1692] centrale PC 2009 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe définie par : \(x(t)=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t\), \(y(t)=a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t\), \(z(t)=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2t)\). On note \(\mathscr{S}\) la surface de révolution autour de \((Oz)\) générée par \(\mathscr{C}\).

1. Donner une équation d’une méridienne de \(\mathscr{S}\).

2. Montrer que \(\mathscr{S}\) est contenue dans une quadrique que l’on précisera.

[fct.R2/ex1157] Trouver la surface \(S\) engendrée par les droites rencontrant perpendiculairement \((Oz)\) et s’appuyant sur \(\Gamma\) : \[\Gamma\ \left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=a^2\\ x^2+y^2-ax=0\end{array}\right.\]

[concours/ex3254] mines M 1993 Montrer que la surface d’équation \[2(xy+yz+zx)+2x-1=0\] est de révolution et en déterminer les éléments caractéristiques.

[concours/ex0310] mines MP 1996 Soit la surface \(\Sigma:x^2+y^2=z^2\). Quelles sont les courbes \(\Gamma\) tracées sur \(\Sigma\) telles que le segment de tangente compris entre le point courant et le plan \(xOy\) est de longueur constante ?

[concours/ex2627] tpe, int, ivp M 1995 Soit la surface \(\mathscr{S}\) : \((x+y+z)^2=4yz\) ; angle des plans tangents à \(\mathscr{S}\) incluant la droite : \(\left\{x+2y=0;\ x-z=0\right\}\).

[fct.R2/ex0651] Donner l’équation du plan normal à la courbe intersection des surfaces \(9x^2+4y^2-36z=0\) et \(3x+y+z-z^2-1=0\) au point \((2,-3,2)\).

[oraux/ex4410] centrale PC 2011 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(3(x^2+y^2)=z^2\).

1. Caractériser \(\mathscr{S}\).

2. Soit \(\mathscr{C}\) l’intersection de \(\mathscr{S}\) et du plan d’équation \(z=\sqrt3\). Déterminer \(\mathscr{C}\). À l’aide de \(\mathscr{C}\) donner une paramétrisation de \(\mathscr{S}\).

3. Déterminer l’angle que font les génératrices avec \(\mathscr{C}\).

4. Soient \(\Gamma:t\mapsto(f(t),g(t),h(t))\) une courbe de classe \(\mathscr{C}^1\). Déterminer l’équation du plan tangent à \(\mathscr{S}\) en \(\Gamma(t_0)\).

[concours/ex4309] centrale M 1990 Soit \(\Sigma\) : \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-pz=0\). On coupe par un plan variable contenant \((Ox)\). Déterminer la nature de l’intersection et l’ensemble des centres de courbure en \(O\) de ces intersections.

[fct.R2/ex1151] Soit \(\Sigma\) : \(xy+yz+zx=0\). Ensemble des points de l’espace par lesquels passent deux plans perpendiculaires tangents à \(\Sigma\) ?

[fct.R2/ex0655] Montrer que les trois surfaces : \[\begin{array}{rrcl} \mathscr{S}_1\ :\ {}&14x^2+11y^2+8z^2&=&66\\ \mathscr{S}_2\ :\ {}&3z^2-5x+y&=&0\\ \mathscr{S}_3\ :\ {}&xy+yz-4zx&=&0\end{array}\] sont deux à deux perpendiculaires au point \((1,2,1)\).