Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex1163] Soit \(\Sigma\) : \(x^2+y^2-2az=0\). Trouver les arcs \(C^1\) réguliers de \(\Sigma\) tels que la tangentes en \(M\) à l’arc rencontre \(Oz\) suivant un angle constant.

[oraux/ex3843] mines MP 2011 Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\) pour que l’ensemble : \[\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ \alpha\left(\vphantom{|_|}\smash{(1+x)^2+(1+y)^2+(1+z)^2} \right)+2\beta(xy+yz+zx)=0\right\}\] soit un compact non vide.

[oraux/ex5695] centrale PSI 2012 Nature de \(K=\left\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\; xy +yz+xz+a(x^2+y^2+z^2)=b\right\}\) suivant \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) ? Pour quelles valeurs l’ensemble \(K\) est-il compact ?

[concours/ex0311] mines MP 1996 Trouver les courbes tracées sur la surface d’équation \(x^2+y^2-2z=0\) (repère orthonormé) telles que les tangentes fassent un angle constant \(\alpha\in\left[0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\) avec \(Oz\).

[oraux/ex1896] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soit \((E)\) la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\).

1. Représenter \((E)\).

2. Soit \(R\) la rotation d’axe dirigé par \(\vec u(4,3,0)\) et d’angle \(t\). Soit \((x',y',z')\) l’image de \((x,y,z)\) par \(R\). Exprimer \((x',y',z')\) en fonction de \((x,y,z)\).

3. Déterminer une équation de \((E_t)\), image de \((E)\) par \(R\).

[fct.R2/ex0989] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[z=4x^2-y^2.\]

[oraux/ex3675] polytechnique MP 2011 Dans \(\mathbf{R}^3\) muni de sa structure euclidienne standard, on considère deux ellipsoïdes \(\mathscr{E}\) et \(\mathscr{E}'\) (non nécessairement concentriques) tels que le domaine intérieur à \(\mathscr{E}\) soit inclus dans le domaine intérieur à \(\mathscr{E}'\). Comparer les demi-axes de \(\mathscr{E}\) et \(\mathscr{E}'\).

[planches/ex9542] polytechnique PSI 2023 Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois réels strictement positifs.

On pose \(E=\displaystyle\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2+\left(\frac{z}{c}\right)^2=1\right\}\).

On suppose que \(A\), \(B\), \(C\) sont trois points distincts de \(E\) tels que le plan tangent à \(E\) en \(A\) est parallèle à \((BC)\), le plan tangent à \(E\) en \(B\) est parallèle à \((CA)\), le plan tangent à \(E\) en \(C\) est parallèle à \((AB)\).

Calculer le volume du parallélépipède engendré par les vecteurs \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\).

[oraux/ex9441] mines PSI 2013 Soient \(E\) un espace euclidien de dimension 3 rapporté à un repère orthonormé, \(P\) et \(S\) ayant respectivement pour équation : \(x+y+z=1\) et \(x^2+y^2+z^2-4x-6y=0\). Déterminer l’ensemble \(P\cap S\).

[planches/ex4731] polytechnique MP 2019 Décrire et représenter \(\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ x^2+y^2+z^2-2xz=1,\ x+z=0\}\).