Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1885] centrale PSI 2010 Soient \(\mathscr{Q}\) la surface d’équation \(x^2+2y^2+z^2+4x-2z=0\) et \(A(2,0,1)\).

1. Déterminer la nature de \(\mathscr{Q}\).

2. Montrer qu’une droite \(\mathscr{D}\) est tangente à \(\mathscr{Q}\) si et seulement si \(\mathscr{Q}\cap\mathscr{D}\) est un singleton.

3. Déterminer le lieu des tangentes à \(\mathscr{Q}\) passant par \(A\).

[oraux/ex1839] mines MP 2008 Nature de la quadrique d’équation \(z^2=xy\).

[concours/ex6206] ccp PSI 2007 Nature de la quadrique : \(-y^2+3z^2-6\sqrt2z+2x-4=0\) ?

[concours/ex2554] centrale M 1995 On considère la surface \(\Sigma_a\) d’équation \(z=x^2+ay^2\).

1. Donner une équation du plan tangent \(P\) en \(O\) à \(\Sigma_a\) et donner, selon \(a\), la forme de \(P\cap\Sigma_a\).

2. Soit \(P'\) un plan passant par \(O\) et perpendiculaire à \(P\). Discuter la nature de \(P'\cap\Sigma_a\). Donner, lorsqu’il est défini, son rayon de courbure en \(O\).

[concours/ex2549] centrale M 1995 Nature de la surface \(\Sigma\) d’équation \(2xy-xz+2yz=0\). Déterminer son intersection avec le plan \(x+y+z=0\). La surface \(\Sigma\) contient-elle des cercles ?

[concours/ex3817] centrale M 1992 Trouver les nappes de \(\mathbf{R}^3\) sous la forme \[M=O+x\,\mathchoice{\overrightarrow{i}}{\overrightarrow{i}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle i}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle i}}+y\,\mathchoice{\overrightarrow{j}}{\overrightarrow{j}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle j}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle j}}+f(x,y)\,\mathchoice{\overrightarrow{k}}{\overrightarrow{k}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle k}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle k}}\] telles que le point \(P\), intersection de la normale en \(M\) avec le plan \(z=0\) vérifie \(\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\cdot\mathchoice{\overrightarrow{OP}}{\overrightarrow{OP}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OP}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OP}}=0\). Montrer que parmi les solutions figurent certaines portions de quadriques.

[concours/ex2627] tpe, int, ivp M 1995 Soit la surface \(\mathscr{S}\) : \((x+y+z)^2=4yz\) ; angle des plans tangents à \(\mathscr{S}\) incluant la droite : \(\left\{x+2y=0;\ x-z=0\right\}\).

[oraux/ex9466] centrale PC 2013 (avec Maple)

Soient \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \[xy+yz+zx-(x+y+z)+1=0,\] \(\mathscr{D}_1\) la droite d’équation \(y=0\), \(z=1\), \(\mathscr{D}_2\) la droite d’équation \(x=0\), \(y=1\) et \(\mathscr{D}_3\) la droite d’équation \(z=0\), \(x=1\).

1. Représenter \(\mathscr{S}\), \(\mathscr{D}_1\), \(\mathscr{D}_2\), \(\mathscr{D}_3\). Que remarque-t-on ? Montrer le résultat.

2. Montrer qu’il existe une base orthonormée dans laquelle l’équation de \(\mathscr{S}\) est : \[{X^2\over a^2}-{Y^2\over b^2}-{Z^2\over c^2}=-1.\] Préciser \((a,b,c)\).

3. Montrer qu’il existe une infinité de droites incluses dans \(\mathscr{S}\).

[oraux/ex4135] mines PC 2011 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(2x^2-y^2-3z=0\).

1. Nature de \(\mathscr{S}\) ?

2. Déterminer les points de \(\mathscr{S}\) en lesquels le plan tangent à \(\mathscr{S}\) est parallèle au plan d’équation \(x-y+z=0\).

[planches/ex3294] polytechnique MP 2018 Représenter dans \(\mathbf{R}^3\) les surfaces d’équations \(x^2+y^2-z^2=1\) et \(x^2+y^2-z^2=0\).