Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0465] Montrer que l’intersection des deux surfaces : \[x^2+3y^2-z^2+3x=0\qquad\hbox{et}\qquad2x^2+6y^2-2z^2-4y=3\] est une courbe plane.

[oraux/ex9507] centrale PSI 2014 (avec Maple)

Soit \((S)\) la surface d’équation : \[x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+3x-y+2z=0.\]

1. Trouver l’équation réduite de \((S)\) dans un repère orthonormé que l’on précisera.

2. Soit \(\vec u=(1,1,1)\). Déterminer \(\Gamma_{\vec u}\) la courbe constituée des points \(M\) de \((S)\) tels que la droite \((M,\vec u)\) soit tangente à \((S)\) en \(M\).

3. Tracer \((S)\) et \(\Gamma_{\vec u}\) sur la même figure.

[oraux/ex9476] ccp PSI 2013 Dans \(\mathbf{R}^3\) euclidien standard, déterminer les points équidistants des droites \(3x+2z-1=y=0\) et \(x=z=0\).

[fct.R2/ex0647] Calculer les équations de la normale à la surface \(x^2+4y^2=z^2\) en \((3,2,5)\).

[fct.R2/ex1158] Soit \(\Sigma\) : \(z^2+4x^2+2y^2=1\). Montrer que la courbe de contact de \(\Sigma\) et du cône de sommet \(S(0,0,a)\) circonscrit à \(\Sigma\) est plane (\(a\not\in\left]-1,1\right[\)).

[oraux/ex1893] centrale PC 2010 Soient \(a>0\), \(s(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-a^2\), \(p(x,y,z)=(x+y+z)^2-a^2\), \((S)\) la surface d’équation \(s=0\), \((P)\) la surface d’équation \(p=0\) et \((\Sigma_u)\) la surface d’équation \(\alpha s+p=0\).

1. Déterminer \(S\cap P\).

2. Déterminer les \(\alpha\in\mathbf{R}\) tels que \(O\in\Sigma_u\). Quelle est la nature de ces surfaces ?

[concours/ex3817] centrale M 1992 Trouver les nappes de \(\mathbf{R}^3\) sous la forme \[M=O+x\,\mathchoice{\overrightarrow{i}}{\overrightarrow{i}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle i}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle i}}+y\,\mathchoice{\overrightarrow{j}}{\overrightarrow{j}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle j}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle j}}+f(x,y)\,\mathchoice{\overrightarrow{k}}{\overrightarrow{k}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle k}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle k}}\] telles que le point \(P\), intersection de la normale en \(M\) avec le plan \(z=0\) vérifie \(\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\cdot\mathchoice{\overrightarrow{OP}}{\overrightarrow{OP}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OP}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OP}}=0\). Montrer que parmi les solutions figurent certaines portions de quadriques.

[fct.R2/ex0456] Décrire et tracer le graphe de \(z=y^2-x^2\).

[concours/ex3816] centrale M 1992 Déterminer le tétraèdre de volume maximal inscrit dans une sphère de rayon \(R\), calculer son volume en fonction de \(R\). Reprendre l’exercice en remplaçant la sphère par un ellipsoïde.

[fct.R2/ex0652] Montrer que les surfaces \(x^2+y^2+z^2=18\) et \(xy=9\) sont tangentes en \((3,3,0)\).