Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4106] navale PSI 2018 Soit \(S\) la surface d’équation \(x^2-y^2-z=1\), \(P\) le plan d’équation \(x+2y-z=0\). Donner l’ensemble des points \(M\) de \(S\) tels que le plan tangent à \(S\) en \(M\) soit parallèle à \(P\).

[oraux/ex1823] PSI 2006 Trouver les plans de \(\mathbf{R}^3\) tangents à la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\) et parallèles au plan d’équation \(x+2y+z=0\).

[fct.R2/ex0653] Montrer que les surfaces \(x^2+y^2+z^2-8x-8y-6z+24=0\) et \(x^2+3y^2+2z^2=9\) sont tangentes en \((2,1,1)\).

[fct.R2/ex0996] Représenter et reconnaître la surface d’équation : \[x^2+y^2+z^2-4x+6y+2z-2=0.\]

[concours/ex2054] centrale MP 1999 Soit \(\Sigma=\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mid x^2+y^2-z^2-2bxy=0\right\}\) où \(b\in\mathbf{R}\).

1. Quelle est la nature de \(\Sigma\) ?

2. Trouver les plans coupant \(\Sigma\) suivant deux droites orthogonales.

[concours/ex0985] centrale MP 1997 Soit \(\mathscr{P}\) le paraboloïde de révolution défini par \(\mathscr{P}:x^2+y^2=2pz\) (avec \(p>0\)). Trouver le lieu des centres des ellipses d’excentricité \(\displaystyle{1\over\sqrt 2}\) contenues dans \(\mathscr{P}\).

[concours/ex4047] polytechnique pox P 1990 Nature de la surface d’équation : \[(x+y)(y-z)+3x-5y=0.\]

[concours/ex2626] tpe, int, ivp M 1995 Montrer que la surface d’équation : \[(x-y)(x-z)+(y-z)(y-x)+(z-x)(z-y)+x-y=0\] est de révolution. Axe, nature de cette surface.

[fct.R2/ex0642] Calculer l’équation du plan tangent à l’ellipsoïde \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\) en \((x_0,y_0,z_0)\).

[fct.R2/ex1162] Soit \(\Sigma\) : \(x^2+y^2-z^2=a^2\). Trouver les plans qui recontrent \(\Sigma\) suivant deux droites perpendiculaires.