Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5779] centrale PC 2012 Déterminer la nature de \((S) : x^2-yz-x=0\). Trouver les plans tangents à \((S)\) contenant la droite \((D) : x+y+z=0\) et \(2x-z+1=0\).

[oraux/ex1804] mines MP 2006 Reconnaître la surface d’équation \(z=x^2-y^2\).

[planches/ex8820] centrale PC 2022 On fixe un réel \(a>0\) et on considère \(E=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ 4x^2+2y^2+z^2=16a^2\}\).

1. Montrer que l’ensemble \(\Gamma\) des points de \(E\) en lesquels le plan tangent passe par le point \(A=(0,4a,4a)\) est une courbe plane.

2. On note \(L\) l’intersection de \(E\) avec le plan d’équation \(z=2a\sqrt2\). Montrer qu’une représentation paramétrique de \(L\) est \(t\longmapsto(a\sqrt2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t,2a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t,2a\sqrt2)\).

3. Donner une représentation paramétrique de la réunion \(S\) des normales à \(E\) rencontrant \(L\). Préciser l’intersection de \(S\) avec le plan d’équation \(z=0\).

[oraux/ex4136] mines PC 2011 Soient \(\mathscr{S}\) la surface de \(\mathbf{R}^3\) d’équation \(z^3=xy\) et \(\mathscr{D}\) la droite \((x=2,\ y=3(z+1))\). Déterminer les points réguliers de \(\mathscr{S}\) en lesquels le plan tangent à \(\mathscr{S}\) contient \(\mathscr{D}\).

[concours/ex4312] centrale M 1990 Soit \(S\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}-{y^2\over a^2}-{z^2\over a^2}=1\) ; l’identifier. Trouver \(\Sigma\), ensemble des projections orthogonales de \(O\) sur les plans tangents à \(S\). Volume intérieur à \(\Sigma\).

[oraux/ex1730] mines PC 2010 On se place dans \(\mathbf{R}^3\) muni de sa structure euclidienne canonique. Soit \(a>0\). Déterminer l’ensemble des courbes de classe \(\mathscr{C}^1\) régulières tracées dans \(x^2+y^2=a\) et telles qu’en tout point la tangente à la courbe soit tangente à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2=2a^2\).

[oraux/ex9511] centrale PC 2014 (avec Maple)

Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(A=\pmatrix{a&c&b\cr c&b&a\cr b&a&c}\).

1. Montrer que \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geqslant 0\). À quelle condition a-t-on égalité ?

2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Que dire de ses valeurs propres ?

3. Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(\mathscr{Q}\) d’équation \[a(x^2+2yz)+b(y^2+2xz)+c(z^2+2xy)=0.\]

   1. Tracer \(\mathscr{Q}\) pour \((a,b,c)=(1,2,-2/3)\), puis pour \((a,b,c)=(-1,-2,2/3)\).

   2. Caractériser cette surface.

   3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(\mathscr{Q}\) soit une surface de révolution.

[fct.R2/ex0644] Calculer un vecteur tangent au point \((2,1,4)\) à la courbe intersection du cône \(z^2=3x^2+4y^2\) et du plan \(3x-2y+z=8\).

[fct.R2/ex1160] Cercles de \(\Sigma\) : \(x^2+2y^2+3z^2=1\).

[oraux/ex9441] mines PSI 2013 Soient \(E\) un espace euclidien de dimension 3 rapporté à un repère orthonormé, \(P\) et \(S\) ayant respectivement pour équation : \(x+y+z=1\) et \(x^2+y^2+z^2-4x-6y=0\). Déterminer l’ensemble \(P\cap S\).