Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex3557] polytechnique M 1992 Ensemble des points équidistants de deux droites données de l’espace.

[concours/ex6139] centrale PC 2007 Soient \((a,m)\in\mathbf{R}^2\), \(D=\{(x,mx,a),\ x\in\mathbf{R}\}\) et \(D'=\{(-x,-mx,-a),\ x\in\mathbf{R}\}\) deux droites de \(\mathbf{R}^3\). Déterminer le lieu des points équidistants de \(D\) et de \(D'\).

[oraux/ex1845] centrale MP 2008 Dans \(\mathbf{R}^3\) affine euclidien, soient \(D\) l’axe \((Oz)\) et \(D'\) la droite passant par \(A(a,0,0)\) avec \(a>0\) et dirigée par le vecteur de coordonnées \((1,1,1)\). Trouver le lieu des points équidistants de ces deux droites.

[oraux/ex1879] mines MP 2010

1. Reconnaître la quadrique \(Q\) d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\).

2. Déterminer les droites tracées sur \(Q\).

[concours/ex2919] centrale M 1994 Dans l’espace euclidien de dimension \(3\) rapporté à un repère orthonormé, on considère la surface \(S\) d’équation : \[(b^2+c^2)x^2+(c^2+a^2)y^2+(a^2+b^2)z^2-2abxy-2bcyz-2cazx=h,\] où \((a,b,c,h)\in\mathbf{R}^4\). Nature de \(S\) ? Discuter.

[oraux/ex5883] ccp PSI 2012 On considère la surface \((S)\) d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\).

1. Montrer qu’il n’existe pas de droite parallèle à \((xOy)\) incluse dans \((S)\).

2. Soit \((D)\) la droite définie par \(x=az+b\) et \(y=cz+d\). Montrer que \((D)\) est incluse dans \((S)\) si, et seulement si, \(\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)\) appartient à \({\cal O}_2(\mathbf{R})\).

3. Montrer que par tout point de \((S)\) passent deux droites incluses dans \((S)\).

[concours/ex4191] mines M 1990 Déterminer, selon \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\), la nature de la surface d’équation : \[(b^2+c^2)x^2+(c^2+a^2)y^2+(a^2+b^2)z^2-2abxy-2bcyz-2cazx=0.\]

[oraux/ex1782] mines PC 2005 Dans l’espace affine euclidien \(\mathbf{R}^3\), trouver le lieu des points équidistants d’une droite et d’un plan.

[oraux/ex1820] ccp PSI 2006 Soit \((S)\) la surface d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\). Montrer qu’aucune droite parallèle au plan \((xOy)\) n’est contenue dans \((S)\). Soit \(D\) la droite définie par \(x=az+b\) et \(y=cz+d\). Montrer que \(D\) est incluse dans \((S)\) si et seulement si la matrice \(\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) est orthogonale.

[oraux/ex4409] centrale PC 2011 (avec Maple)

Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\).

1. Préciser la nature de \(\mathscr{S}\). En donner un paramétrage. Représenter \(\mathscr{S}\).

2. Déterminer un vecteur normal à \(\mathscr{S}\) en \(M(x,y,z)\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(\vec u(1,2,1)\) soit tangent à \(\mathscr{S}\) en \(M\). On note \(\Gamma\) l’ensemble des points \(M\) en lesquels \(\vec u\) est tangent à \(\mathscr{S}\).

3. Soit \(P\) le plan d’équation \(x+2y+4z=0\). Déterminer une base orthonormée directe de \(\mathbf{R}^3\) dont les deux premiers vecteurs appartiennent à \(P\). Donner l’équation de \(\Gamma\) dans cette base.