Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8240] mines PC 2010 Soit \((x_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \(x_0\in\left]0,\pi/2\right[\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(x_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x_n)\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on pose \(y_n=\displaystyle{1\over x_{n+1}^2}-{1\over x_n^2}\).

1. Déterminer la limite de la suite \((x_n)\).

2. Montrer que la suite \((y_n)\) converge vers un réel \(\ell\neq0\).

3. En déduire la nature de la série de terme général \(x_n^3\).

[oraux/ex0165] tpe MP 2005 La suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) est définie par : \(a_0\in\left]0,\pi/2\right[\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(a_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a_n)\). Quelle est la nature de la série de terme général \(a_n\) ?

[concours/ex9024] escp S 2010

1. On considère une suite réelle \((a_n)_{n\in \mathbf{N}}\) de limite \(\ell\in\mathbf{R}\).

   1. Écrire la définition mathématique de la convergence de la suite \((a_n)\) vers \(\ell\).

   2. Montrer que pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(n_0\in \mathbf{N}^*\) tel que pour tout \(n\geqslant n_0\), on a : \[\left| {1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k -\ell \right|\leqslant\left| {1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n_0-1} (a_k -\ell) \right|+{\varepsilon\over2}\]

   3. En déduire la limite de la suite \((v_n)_n\) définie pour tout \(n\in \mathbf{N}^*\) par : \[v_n= {1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k\]

2. Dans cette question, on considère la suite \((u_n)_{n\geqslant 0}\) définie par : \[u_0 = {\pi\over4}\quad\hbox{et, pour }\quad n\geqslant 1,\quad u_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(u_n).\]

   1. Montrer que la suite \((u_n)_n\) converge et donner sa limite.

   2. Montrer qu’il existe un réel \(\alpha\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(\displaystyle{1\over u_{n+1}^\alpha}-\displaystyle{1\over u_n^\alpha}\right)\) existe et est un réel non nul.

   3. Quelle est la nature de la série de terme général \(u_n\) ?

[examen/ex1009] hec S 2024 Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0\in\left]0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(u_n)\).

1. Question de cours : donner les deux premiers termes des développements limités de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x)\) et \((1+x)^2\) lorsque \(x\) tend vers 0.

2. Montrer que \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_n\in\left]0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\)

3. Montrer que \((u_n)\) converge vers une limite finie \(\ell\), que l’on déterminera.

4. Proposer un programme Python indice(u0,eps), qui prend en paramètre le premier terme \(u_0\in\left]0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\) et un paramètre \(\varepsilon\). Ce programme retourne le plus petit entier \(k\) tel que \(|u_k-\ell|<\varepsilon\).

5. Montrer que la suite \(\displaystyle{1\over u_{n+1}^2}-{1\over u_n^2}\) converge, et donner la valeur de sa limite.

6. Soit \((x_n)\) une suite réelle de limite \(x\in\mathbf{R}\). Montrer que la suite \(y_n=\displaystyle{1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}x_k\) converge vers \(x\).

7. Déterminer un équivalent de \((u_n)\), lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\). En déduire la nature de la série de terme général \((u_n)\).

[examen/ex0661] imt MP 2023 On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0\in\left]0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(u_n)\).

1. Montrer que \((u_n)\) converge vers \(0\).

2. Déterminer \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que \((u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha)\) converge vers une limite non nulle.

3. Déterminer un équivalent de \(u_n\). Quelle est la nature de \(\sum\limits u_n\) ?

[concours/ex4137] mines M 1990 Une suite est définie par \(u_0\in\mathbf{R}\) et la récurrence \(u_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits u_n\). Trouver la nature de la série \(\sum\limits u_n^k\) pour \(k\in\mathbf{N}\) fixé.

[planches/ex9463] polytechnique MP 2023 Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \(a_0=\pi/2\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(a_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a_n)\). Nature de la série de terme général \(a_n^2\) ?

[concours/ex7911] mines PC 2008 Soit \(a\in\mathbf{R}_+\). Nature de la série de terme général \(a_n=\displaystyle{n\,!\over(a+1)\cdots(a+n)}\) ?

[concours/ex7606] polytechnique MP 2005 Soit \(u\in\mathbf{R}^\mathbf{N}\) telle que \(u_0\in\left]0,1\right]\) et que, pour un certain \(\beta>0\) et pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}^\beta=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits u_n^\beta\). Étudier la nature de la série de terme général \(u_n\).

[planches/ex4145] imt PC 2018 Montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k)\over k}\) est équivalent à \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(n)^2\over2}\).

[planches/ex9364] ens PC 2023 Quelle est la nature de la série \(\displaystyle\sum\limits \mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(2\pi \,n! \,e)\) ?

[planches/ex9365] ens PC 2023 Nature, suivant la valeur de \(\alpha\in\mathbf{R}\), de \(\displaystyle\sum\limits\left|\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(2\pi\mathrm{e}n!\right)\right|^{\alpha}\).

[planches/ex9363] ens PC 2023 Quelle est la nature de la série \(\displaystyle\sum\limits \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\pi \,n! \,e)\) ?

[planches/ex8036] mines MP 2022 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\pi en\,!)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(n)}\) ?

[concours/ex7724] mines MP 2006 Soit \(\alpha\in\mathbf{R}^*\). On pose, pour \(n\in\mathbf{N}^*\) : \(u_n=\displaystyle{1\over\sum\limits_{k=1}^nk^\alpha}\). Nature de la série de terme général \(u_n\) ?

[planches/ex5465] centrale PC 2019 (avec Python)

On pose \(S_k(n)=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^nj^k\), \(T_k(n)=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^n{1\over S_k(j)}\), \(M_k=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{+\infty}{1\over S_k(j)}\) pour \(k\in\mathbf{N}^*\) et \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Calculer \(S_1(n)\). En déduire que \(M_1\) est réel et donner sa valeur.

2. Montrer que, pour tout \(k\), \(M_k\) est réel.

3. Donner une fonction Python qui renvoie la valeur de \(T_k(n)\).

4. Afficher sur un même dessin les \(T_k(n)\) pour \(k\in\{1,\ldots,10\}\) et \(n\in\{1,\ldots,50\}\). mettre une conjecture sur \((M_k)_{k\geqslant 1}\).

5. Montrer cette conjecture.

[concours/ex4132] mines M 1990 Nature de la série de terme général : \(\displaystyle{n^\alpha\over\displaystyle\sum\limits_{j=2}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits^2j}\).

[examen/ex0526] centrale PC 2023 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(a_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^2\). Déterminer un équivalent de \(a_n\) en \(+\infty\), et la nature de la série \(\displaystyle\sum\limits\displaystyle\frac{1}{a_n}\).

[concours/ex1601] ccp, tpe, int, ivp MP 1998 Soit \(v_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits k)^2\) et \(u_n=\displaystyle{1\over v_n}\). Donner un équivalent simple de \(u_n\). Étudier la convergence de \(u_n\). Étudier une méthode d’approximation numérique de \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n\).

[planches/ex9841] mines MP 2023 Si \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k))^2\). Déterminer la nature de \(\sum\limits\displaystyle\frac{1}{u_n}\).

[series/ex0106] Soit \(\alpha>0\). On pose \[a_n=\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^\alpha\] pour \(n\geqslant 2\). Nature de la série \(\sum\limits1/a_n\).

[concours/ex7888] mines MP 2008 Soit \(\alpha>0\). Nature de la série de terme général : \(\displaystyle{(n\alpha)^n\over\sum\limits_{k=0}^nk\,!}\) ?

[concours/ex0707] ensae MP 1997 Nature de la série de terme général \(u_n\), où \[\forall n\in\mathbf{N}\quad u_n=a^{1+\textstyle{1\over 2}+\cdots+\textstyle{1\over n}}\quad\hbox{où }a>0\,.\]

[oraux/ex3896] mines MP 2011 Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Si \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(s_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k^b}\). Nature de la série de terme général \(u_n=a^{s_n}\) ?

[oraux/ex9065] centrale PC 2013 Soit, pour \(n\geqslant 1\), \(H_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k}\).

1. Montrer qu’il existe \(\gamma\in\mathbf{R}\) tel que \(H_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n+\gamma+o(1)\).

2. Nature, suivant \(a>0\), de la série de terme général \(a^{H_n}\) ?

[oraux/ex3895] mines MP 2011 Nature de la série de terme général : \(\left(\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^nk^k\right)^{\!-4/n^2}\).

[concours/ex7735] mines PC 2006 Nature de la série de terme général : \(u_n=\left[\mathop{\prod}\limits_{k=1}^nk^{2k}\right]^{-1/n^2}\).

[concours/ex2894] centrale M 1994 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(1-e^{1/k})\).

[examen/ex4199] ccinp PSI 2025 Soit \(\alpha>1\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on pose \(R_n(\alpha)=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^\alpha}\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}R_n(\alpha)=0\).

2. Montrer que \(R_n(\alpha)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{n\rightarrow+\infty}}\displaystyle\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}\).

[oraux/ex4080] mines PC 2011 Nature de la série de terme général \(u_n=\left(\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^nk^k\right)^{\!-1/n^2}\).

[oraux/ex4079] mines PC 2011 Soit, pour \(n\geqslant 2\) : \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n(2-3^{1/k})\).

1. Étudier la suite de terme général \(u_n\).

2. Nature de la série de terme général \(u_n\) ?

[examen/ex2553] ccinp PSI 2024 Soit \(\alpha>1\). Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(S_n(\alpha)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k^\alpha}\) et \(R_n(\alpha)=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^\alpha}\).

1. Montrer que \(R_n(\alpha)\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{n\to+\infty}}0\).

2. Montrer que \(R_n(\alpha)\sim\displaystyle\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}\).

3. Nature de la série \(\sum\limits\displaystyle\frac{R_n(\alpha)}{S_n(\alpha)}\) ?

[concours/ex7551] centrale 2004 Soit \(\alpha\) un réel. On pose \(u_n=\sum\limits_{k=n}^{+\infty}(k+1)^{-\alpha}\). Existence de \(u_n\). Nature de la série de terme général \(u_n\).

[oraux/ex9407] ccp PSI 2016 Pour \(\alpha>1\), on pose \(S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k^\alpha}\) et \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\). Étudier la convergence de la série de terme général \(R_n/S_n\).

[concours/ex0947] centrale MP 1997 Nature de la série \[\sum\limits\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(2-e^{1/k})\,.\]

[oraux/ex9184] ccp PSI 2014 Soient \(\alpha>1\) et \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\). Encadrer \(R_n\) et en déduire un équivalent de \(R_n\).

[concours/ex1469] centrale MP 1998

1. Étude de la fonction \(f:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(2-e^{1/x}\right)\). Graphe.

2. Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(u_n=\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n\left(2-e^{1/n}\right)\). Étudier la suite \((u_n)\) et la série \(\sum\limits u_n\).

[concours/ex5973] centrale MP 2007 On fixe \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(u_n=\displaystyle{n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{x\over k}\right)\).

1. Étudier la suite de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)\). En déduire que la suite \((u_n)_{n\geqslant 1}\) converge et préciser sa limite.

2. Établir l’existence de \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{1\over n}\right)\) converge.

3. Établir l’existence de \(A\in\mathbf{R}^*\) tel que \(u_n\sim A/n^\alpha\).

4. Étudier la convergence de la série de terme général \(u_n\).

[oraux/ex8984] ens paris MP 2013 On note \((p_n)_{n\in\mathbf{N}}\) la suite des nombres premiers ordonnée de manière strictement croissante. Montrer que la série de terme général \(1/p_n\) diverge.

[planches/ex4041] imt MP 2018 Soit \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(u_n=\displaystyle{n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{x\over k}\right)\).

1. Étudier la suite \(\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(\displaystyle{u_{n+1}\over u_n}\right)\right)_{\!n\in\mathbf{N}^*}\) puis la suite \((u_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\).

2. Trouver \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que la série de terme général \(\displaystyle\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({u_{n+1}\over u_n}\right)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{1\over n}\right)\) converge.

3. En déduire un équivalent de \(u_n\).

[concours/ex7521] polytechnique 2004 Soit \(n_1\), … , \(n_k\) des nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 et deux à deux premiers entre eux. On note : \[A_k=\left\{p\in\mathbf{N}\mid\exists(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)\in\mathbf{N}^k,\ p=n_1^{\alpha_1}\ldots n_k^{\alpha_k}\right\}.\] Calculer \(\sum\limits_{p\in A_k}\displaystyle{1\over p}\). Montrer que la série \(\sum\limits_{p\hbox{ \scriptsize premier}}\displaystyle{1\over p}\) diverge.

[concours/ex3184] mines M 1993 Soit, pour tout \(n\) de \(\mathbf{N}^*\), \[A_n=\mathop{\prod}\limits_{\scriptstyle p\ \hbox{\scriptsize premier}\atop\scriptstyle1<p\leqslant n}{1\over1-\displaystyle{1\over p}}.\] Montrer que \(A_n\) tend vers \(+\infty\). Montrer que la série \[\sum\limits_{p\ \hbox{\scriptsize premier}}{1\over p}\] diverge.

[concours/ex7842] polytechnique MP 2008 Donner la nature de la série de terme général \(1/k_n\), où \(k_n\) est le \(n\)-ième nombre premier.

[oraux/ex9247] mines PSI 2015 Soient \(x\in\mathbf{R}_+^*\) et, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \[u_n={n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{x\over n}\right).\]

1. Déterminer la nature de la série de terme général : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)\). En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\) est convergente ; déterminer sa limite.

2. Trouver \(\alpha\) tel que la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1}-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{1\over n}\right)\) converge.

3. En déduire qu’il existe un réel \(A>0\) tel que : \(u_n\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{n\rightarrow+\infty}}An^\alpha\).

[concours/ex7936] centrale MP 2008 Soit \(a\in\mathbf{R}\). On pose, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(u_n=n^{1/n^a}-(n+1)^{1/(n^a+1)}\).

1. Pour quelles valeurs de \(a\) la série de terme général \(u_n\) converge-t-elle ?

2. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{a\rightarrow+\infty} S(a)\) où \(S(a)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n\).

[oraux/ex9344] mines MP 2016 Pour \(n\geqslant 2\), soit \(a_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(2-e^{1/k})\).

1. La série \(\displaystyle\sum\limits{(-1)^n\over a_n}\) converge-t-elle ?

2. Quel est le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum\limits{x^n\over a_n}\) ?

3. Trouver \(\alpha>0\) tel que \((n^\alpha a_n)\) admette une limite dans \(\mathbf{R}_+^*\).

[concours/ex2784] mines M 1994 Nature de la série de terme général \[u_n={\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n-1)\,\beta(\beta+1)\cdots(\beta+n-1)\over n\,!\,\gamma(\gamma+1)\cdots(\gamma+n-1)}.\]

[concours/ex8267] centrale PSI 2010 (avec Maple)

Trouver \(P\in\mathbf{R}[X]\) tel que la série de terme général \(u_n=(n^7-3n^6)^{1/7}-P(n)^{1/3}\) converge le plus vite. Donner alors un équivalent du reste.

[series/ex0508] Soit \((a,b,c)\in(\mathbf{R}_+^*)^3\). Déterminer la nature de la série : \[\sum\limits_{n=1}^{\infty}{n\,!\,a(a+1)\cdots(a+n)\over b(b+1)\cdots(b+n)\,c(c+1)\cdots(c+n)}.\]

[planches/ex6308] hec courts S 2021 Soit \(a\) un réel strictement positif.

1. Étudier la nature de la série \(\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits (n+a) - \mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits n\right)\).

2. Proposer un programme SCILAB permettant d’en donner une valeur approchée à 0.001 près quand \(a=\frac12\)

   On rappelle que atan(x) renvoie la valeur de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x)\)