Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4080] mines PC 2011 Nature de la série de terme général \(u_n=\left(\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^nk^k\right)^{\!-1/n^2}\).

[concours/ex1469] centrale MP 1998

1. Étude de la fonction \(f:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(2-e^{1/x}\right)\). Graphe.

2. Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(u_n=\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n\left(2-e^{1/n}\right)\). Étudier la suite \((u_n)\) et la série \(\sum\limits u_n\).

[concours/ex5973] centrale MP 2007 On fixe \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(u_n=\displaystyle{n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{x\over k}\right)\).

1. Étudier la suite de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)\). En déduire que la suite \((u_n)_{n\geqslant 1}\) converge et préciser sa limite.

2. Établir l’existence de \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{1\over n}\right)\) converge.

3. Établir l’existence de \(A\in\mathbf{R}^*\) tel que \(u_n\sim A/n^\alpha\).

4. Étudier la convergence de la série de terme général \(u_n\).

[planches/ex4041] imt MP 2018 Soit \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(u_n=\displaystyle{n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{x\over k}\right)\).

1. Étudier la suite \(\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(\displaystyle{u_{n+1}\over u_n}\right)\right)_{\!n\in\mathbf{N}^*}\) puis la suite \((u_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\).

2. Trouver \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que la série de terme général \(\displaystyle\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({u_{n+1}\over u_n}\right)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{1\over n}\right)\) converge.

3. En déduire un équivalent de \(u_n\).

[concours/ex3184] mines M 1993 Soit, pour tout \(n\) de \(\mathbf{N}^*\), \[A_n=\mathop{\prod}\limits_{\scriptstyle p\ \hbox{\scriptsize premier}\atop\scriptstyle1<p\leqslant n}{1\over1-\displaystyle{1\over p}}.\] Montrer que \(A_n\) tend vers \(+\infty\). Montrer que la série \[\sum\limits_{p\ \hbox{\scriptsize premier}}{1\over p}\] diverge.