Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex9184] ccp PSI 2014 Soient \(\alpha>1\) et \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\). Encadrer \(R_n\) et en déduire un équivalent de \(R_n\).

[examen/ex4199] ccinp PSI 2025 Soit \(\alpha>1\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on pose \(R_n(\alpha)=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^\alpha}\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}R_n(\alpha)=0\).

2. Montrer que \(R_n(\alpha)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{n\rightarrow+\infty}}\displaystyle\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}\).

[oraux/ex4079] mines PC 2011 Soit, pour \(n\geqslant 2\) : \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n(2-3^{1/k})\).

1. Étudier la suite de terme général \(u_n\).

2. Nature de la série de terme général \(u_n\) ?

[oraux/ex9407] ccp PSI 2016 Pour \(\alpha>1\), on pose \(S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k^\alpha}\) et \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\). Étudier la convergence de la série de terme général \(R_n/S_n\).

[oraux/ex4080] mines PC 2011 Nature de la série de terme général \(u_n=\left(\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^nk^k\right)^{\!-1/n^2}\).