Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8230] mines PC 2010 Nature de la série de terme général \(u_n=(2^2\times3^3\times\cdots\times n^n)^{-4/n^2}\) ?

[concours/ex7735] mines PC 2006 Nature de la série de terme général : \(u_n=\left[\mathop{\prod}\limits_{k=1}^nk^{2k}\right]^{-1/n^2}\).

[concours/ex0947] centrale MP 1997 Nature de la série \[\sum\limits\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(2-e^{1/k})\,.\]

[concours/ex7551] centrale 2004 Soit \(\alpha\) un réel. On pose \(u_n=\sum\limits_{k=n}^{+\infty}(k+1)^{-\alpha}\). Existence de \(u_n\). Nature de la série de terme général \(u_n\).

[examen/ex4199] ccinp PSI 2025 Soit \(\alpha>1\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on pose \(R_n(\alpha)=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^\alpha}\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}R_n(\alpha)=0\).

2. Montrer que \(R_n(\alpha)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{n\rightarrow+\infty}}\displaystyle\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}\).