Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4137] mines M 1990 Une suite est définie par \(u_0\in\mathbf{R}\) et la récurrence \(u_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits u_n\). Trouver la nature de la série \(\sum\limits u_n^k\) pour \(k\in\mathbf{N}\) fixé.

[planches/ex9463] polytechnique MP 2023 Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \(a_0=\pi/2\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(a_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a_n)\). Nature de la série de terme général \(a_n^2\) ?

[concours/ex6110] centrale PC 2007 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{n\,!\over(a+1)(a+2)\cdots(a+n)}\) avec \(a\in\mathbf{R}_+\) ?

[concours/ex7606] polytechnique MP 2005 Soit \(u\in\mathbf{R}^\mathbf{N}\) telle que \(u_0\in\left]0,1\right]\) et que, pour un certain \(\beta>0\) et pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}^\beta=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits u_n^\beta\). Étudier la nature de la série de terme général \(u_n\).

[planches/ex4145] imt PC 2018 Montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k)\over k}\) est équivalent à \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(n)^2\over2}\).