Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex7452] mines 2003 Soient \(\alpha\in\mathbf{R}\) et pour \(n\geqslant 2\) : \[u_n={ne^{n^2}\over(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n)^\alpha}\int_{n^2}^{+\infty}{e^{-t}\over t}\,dt.\]

1. Nature de la série de terme général \(u_n\) ?

2. Pour \(\alpha=1\), déterminer un équivalent de \(\sum\limits_{k=2}^nu_k\).

[concours/ex8287] centrale PC 2010

1. Montrer la convergence de la suite de terme général \[u_n=\sum\limits_{k=1}^n{1\over\sqrt k}-2\sqrt n.\]

2. Soit \(\alpha\in\mathbf{R}_+^*\). Nature de la série de terme général \(v_n=\displaystyle{1\over n^\alpha}\sum\limits_{k=1}^n{1\over\sqrt k}\) ?

[oraux/ex9265] centrale MP 2015 (avec Python)

Soit \(g:t\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle{1\over\sqrt t+t\sqrt t}\). On pose, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(u_n=g(n)\).

1. Quelle est la nature de la série de terme général \(u_n\) ?

2. On note \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}u_k\). Montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt{n+1}}\leqslant R_n\leqslant 2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt n}\).

3. Montrer que \(R_n-\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt n}-\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits{1\over\sqrt{n+1}}=O\left(\displaystyle{1\over n^{3/2}}\right)\).

4. Écrire un programme calculant la somme de la série \(\sum\limits u_n\) à \(10^{-3}\) près.

[concours/ex2895] centrale M 1994 Étude de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{n^\alpha\over\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits^2k}\).

[planches/ex8766] centrale PC 2022 Soit \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que \(u_0>0\) et, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle{u_{n+1}\over u_n}={(n+a)(n+b)\over(n+c)(n+d)}\) où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des réels strictement positifs.

1. Trouver un réel \(\alpha\) tel que la suite \((\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(n^\alpha u_n))\) converge.

2. On suppose que cette condition est vérifiée. Donner un équivalent de \((u_n)\).

3. Déterminer une condition sur \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) pour que la série \(\sum\limits u_n\) converge.