Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex7936] centrale MP 2008 Soit \(a\in\mathbf{R}\). On pose, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(u_n=n^{1/n^a}-(n+1)^{1/(n^a+1)}\).

1. Pour quelles valeurs de \(a\) la série de terme général \(u_n\) converge-t-elle ?

2. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{a\rightarrow+\infty} S(a)\) où \(S(a)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n\).

[planches/ex6308] hec courts S 2021 Soit \(a\) un réel strictement positif.

1. Étudier la nature de la série \(\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits (n+a) - \mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits n\right)\).

2. Proposer un programme SCILAB permettant d’en donner une valeur approchée à 0.001 près quand \(a=\frac12\)

   On rappelle que atan(x) renvoie la valeur de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x)\)

[concours/ex2784] mines M 1994 Nature de la série de terme général \[u_n={\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n-1)\,\beta(\beta+1)\cdots(\beta+n-1)\over n\,!\,\gamma(\gamma+1)\cdots(\gamma+n-1)}.\]

[concours/ex8110] centrale PSI 2009 (avec Maple)

Déterminer l’ensemble des polynômes \(P\) tels que la série de terme général \(u_n=(n^7+3n^6)^{1/7}-P(n)^{1/3}\) soit convergente. Déterminer le polynôme pour lequel la convergence est la plus rapide et donner alors un équivalent du reste.

[series/ex0508] Soit \((a,b,c)\in(\mathbf{R}_+^*)^3\). Déterminer la nature de la série : \[\sum\limits_{n=1}^{\infty}{n\,!\,a(a+1)\cdots(a+n)\over b(b+1)\cdots(b+n)\,c(c+1)\cdots(c+n)}.\]