Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex7770] ccp MP 2006

1. Étudier l’intégrabilité de \(\displaystyle{|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(x)|^p\over\sqrt{1+x^2}}\) sur \(\left[1-\displaystyle{1\over n},1\right[\) pour \(n\geqslant 3\) et \(p\) réel.

2. Étudier la convergence de la série de terme général : \[A_n=\int_{1-1/n}^1{|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(x)|^p\over\sqrt{1+x^2}}\,dx.\]

[concours/ex2338] mines M 1995 Convergence et calcul de \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant p+1}\left({1\over n-p}-{1\over n+p}\right)\).

Énoncé original : On pose \(S_{n,p}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{l=0}^p{2k\over k^2-n^2}\).

Énoncé modifié : On pose \(S_{n,p}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{l=0}^p{2l\over k^2-l^2}\).

Comparer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{p\rightarrow+\infty}S_{n,p}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{p\rightarrow+\infty}\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}S_{n,p}\).

[concours/ex8287] centrale PC 2010

1. Montrer la convergence de la suite de terme général \[u_n=\sum\limits_{k=1}^n{1\over\sqrt k}-2\sqrt n.\]

2. Soit \(\alpha\in\mathbf{R}_+^*\). Nature de la série de terme général \(v_n=\displaystyle{1\over n^\alpha}\sum\limits_{k=1}^n{1\over\sqrt k}\) ?

[concours/ex7956] centrale PC 2008 Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n{1\over k^2+(n+k)^2}\).

[concours/ex2895] centrale M 1994 Étude de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{n^\alpha\over\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits^2k}\).

[planches/ex6746] mines MP 2021 Soient \(a\in\mathbf{R}_+^*\) et \(b\in\mathbf{R}\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b)\) pour que la série de terme général \(u_n=a^nn^b\) diverge.

2. Si cette condition est réalisée, donner un équivalent de \(\sum\limits_{k=1}^nu_k\).

[concours/ex8236] mines PC 2010 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n\left(1-\displaystyle{1\over k}\right)\) ? de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n\left(1-\displaystyle{1\over\sqrt k}\right)\) ?

[planches/ex8765] centrale PC 2022

1. Montrer que la suite \(u\) définie, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), par \(u_n=\displaystyle{1\over n}+{1\over n+1}+\cdots+{1\over2n}\) converge, puis donner sa limite.

2. Montrer que la suite \(v\) définie, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), par \(v_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\left({1\over n+k}\right)\) converge.

[concours/ex8070] mines MP 2009 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{1\over n^\alpha}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^{1/3}\right)\) ?

[planches/ex2671] imt MP 2017 On pose, pour \(n\geqslant 2\), \(S_n=\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k)\) et \(u_n=\displaystyle{1\over S_n}\).

1. Trouver un équivalent de \(S_n\).

2. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n\).

[concours/ex1472] centrale MP 1998

1. Montrer qu’il existe deux applications continues \(Y_1\) et \(Y_2\) de \(\left[1,+\infty\right[\) dans \(\mathbf{R}\) telles que, pour \(x\geqslant 1\) et \(i\in\{1,2\}\), on ait \(Y_i(x)-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits Y_i(x)=x\).

2. Développement asymptotique de \(Y_i\) en \(+\infty\) à trois termes.

3. On définit la suite \((u_n(x))\) par \(u_0(x)=1\) et \(u_n(x)=x+\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n-1}(x))\) pour \(n\geqslant 1\) et \(x\geqslant 1\). Quelle est la limite de cette suite ?

[concours/ex2499] centrale M 1995 Nature de la série de terme général : \[u_n=\left(\sum\limits_{k\geqslant n}{(-1)^{k-n}\over k}\right)^{\!\!\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n}.\]

[examen/ex2466] ccinp MP 2024

1. Soient \(a\), \(b>0\). Calculer \(\displaystyle\int_a^b\frac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}+t^{1/2}}\).

   On effectuera le changement de variable \(u=\sqrt t\).

2. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Justifier la convergence de : \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^{3/2}+k^{1/2}}\).

3. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer que : \(\displaystyle2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\frac{1}{\sqrt{n+1}}\leqslant R_n\leqslant 2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\frac{1}{\sqrt n}\).

4. Déterminer un équivalent simple de \(R_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex4040] polytechnique pox P 1990 Donner un équivalent, pour \(n\) tendant vers \(+\infty\), de \[w_n=e^{-n^{1+\alpha}}\int_{n-1}^ne^{t^{1+\alpha}}\,dt.\] Convergence de \(\sum\limits w_n\).

[planches/ex3502] mines MP 2018

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(\alpha\) réels pour que \(\sum\limits_{k\in\mathbf{N}^*}k^\alpha a^k\) converge.

2. On considère cette condition vérifiée. Donner un équivalent lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) de \(\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}k^\alpha a^k\).

[oraux/ex9265] centrale MP 2015 (avec Python)

Soit \(g:t\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle{1\over\sqrt t+t\sqrt t}\). On pose, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(u_n=g(n)\).

1. Quelle est la nature de la série de terme général \(u_n\) ?

2. On note \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}u_k\). Montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt{n+1}}\leqslant R_n\leqslant 2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt n}\).

3. Montrer que \(R_n-\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt n}-\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits{1\over\sqrt{n+1}}=O\left(\displaystyle{1\over n^{3/2}}\right)\).

4. Écrire un programme calculant la somme de la série \(\sum\limits u_n\) à \(10^{-3}\) près.

[concours/ex2333] mines M 1995 Nature de la série de terme général : \(\left(\displaystyle{n+a\over n+b}\right)^{\!\!n^2}\) (\(a\), \(b\) réels).

[concours/ex7452] mines 2003 Soient \(\alpha\in\mathbf{R}\) et pour \(n\geqslant 2\) : \[u_n={ne^{n^2}\over(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n)^\alpha}\int_{n^2}^{+\infty}{e^{-t}\over t}\,dt.\]

1. Nature de la série de terme général \(u_n\) ?

2. Pour \(\alpha=1\), déterminer un équivalent de \(\sum\limits_{k=2}^nu_k\).

[examen/ex4068] imt MP 2025

1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle \(\displaystyle\frac{1}{X^2(X+1)}\).

2. Pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose : \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\).

   1. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n\).

   2. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n-\displaystyle\frac{1}{n}\).

   3. Déterminer la nature de la série de terme général \((n\,u_n-1)\).

[planches/ex8766] centrale PC 2022 Soit \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que \(u_0>0\) et, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle{u_{n+1}\over u_n}={(n+a)(n+b)\over(n+c)(n+d)}\) où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des réels strictement positifs.

1. Trouver un réel \(\alpha\) tel que la suite \((\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(n^\alpha u_n))\) converge.

2. On suppose que cette condition est vérifiée. Donner un équivalent de \((u_n)\).

3. Déterminer une condition sur \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) pour que la série \(\sum\limits u_n\) converge.