Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8984] ens paris MP 2013 On note \((p_n)_{n\in\mathbf{N}}\) la suite des nombres premiers ordonnée de manière strictement croissante. Montrer que la série de terme général \(1/p_n\) diverge.

[oraux/ex9247] mines PSI 2015 Soient \(x\in\mathbf{R}_+^*\) et, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \[u_n={n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{x\over n}\right).\]

1. Déterminer la nature de la série de terme général : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)\). En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\) est convergente ; déterminer sa limite.

2. Trouver \(\alpha\) tel que la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1}-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{1\over n}\right)\) converge.

3. En déduire qu’il existe un réel \(A>0\) tel que : \(u_n\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{n\rightarrow+\infty}}An^\alpha\).

[concours/ex7521] polytechnique 2004 Soit \(n_1\), … , \(n_k\) des nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 et deux à deux premiers entre eux. On note : \[A_k=\left\{p\in\mathbf{N}\mid\exists(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)\in\mathbf{N}^k,\ p=n_1^{\alpha_1}\ldots n_k^{\alpha_k}\right\}.\] Calculer \(\sum\limits_{p\in A_k}\displaystyle{1\over p}\). Montrer que la série \(\sum\limits_{p\hbox{ \scriptsize premier}}\displaystyle{1\over p}\) diverge.

[series/ex0109] Pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\) on note \(p_n\) le \(n\)-ème nombre premier. On pose \[P_n=\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n{1\over1-1/p_k}\,.\] Montrer que la suite \((P_n)_{n\in\mathbf{N}}\) tend vers \(+\infty\).

Montrer que la série \(\sum\limits\displaystyle{1\over p_n}\) diverge.

[oraux/ex9344] mines MP 2016 Pour \(n\geqslant 2\), soit \(a_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(2-e^{1/k})\).

1. La série \(\displaystyle\sum\limits{(-1)^n\over a_n}\) converge-t-elle ?

2. Quel est le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum\limits{x^n\over a_n}\) ?

3. Trouver \(\alpha>0\) tel que \((n^\alpha a_n)\) admette une limite dans \(\mathbf{R}_+^*\).

[concours/ex7936] centrale MP 2008 Soit \(a\in\mathbf{R}\). On pose, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(u_n=n^{1/n^a}-(n+1)^{1/(n^a+1)}\).

1. Pour quelles valeurs de \(a\) la série de terme général \(u_n\) converge-t-elle ?

2. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{a\rightarrow+\infty} S(a)\) où \(S(a)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n\).

[planches/ex6308] hec courts S 2021 Soit \(a\) un réel strictement positif.

1. Étudier la nature de la série \(\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits (n+a) - \mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits n\right)\).

2. Proposer un programme SCILAB permettant d’en donner une valeur approchée à 0.001 près quand \(a=\frac12\)

   On rappelle que atan(x) renvoie la valeur de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x)\)

[concours/ex8267] centrale PSI 2010 (avec Maple)

Trouver \(P\in\mathbf{R}[X]\) tel que la série de terme général \(u_n=(n^7-3n^6)^{1/7}-P(n)^{1/3}\) converge le plus vite. Donner alors un équivalent du reste.

[series/ex0508] Soit \((a,b,c)\in(\mathbf{R}_+^*)^3\). Déterminer la nature de la série : \[\sum\limits_{n=1}^{\infty}{n\,!\,a(a+1)\cdots(a+n)\over b(b+1)\cdots(b+n)\,c(c+1)\cdots(c+n)}.\]

[concours/ex4135] mines M 1990 Nature de la série de terme général : \[\displaystyle{\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n-1)\, \beta(\beta+1)\cdots(\beta+n-1)\over n\,!\,\gamma(\gamma+1)\cdots(\gamma+n-1)}.\]

[examen/ex2977] polytechnique MP 2025 Construire une suite strictement croissante \((p_n)_{n\geqslant 2}\) d’entiers avec \(p_2=2\) telle qu’il existe \(C>0\) vérifiant, pour tout \(n\geqslant 2\), \(\displaystyle\sum\limits_{k=p_n}^{p_{n+1}-1}\frac{1}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k}\geqslant C\), et telle que la série de terme général \(2^{-(p_{n+1}-p_n)}\) diverge.

[planches/ex7006] mines PC 2021 Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(a_n=\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits^2(k)\). Nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over a_n}\) ?

[planches/ex6909] mines PSI 2021 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de la fonction \(t\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(nt)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)}\).

2. Montrer que, pour tout \(t\in D\), \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(nt)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(3t)+\cdots+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits((2n-1)t)\).

3. En déduire que \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(nt)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\sim{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n\).

[planches/ex7255] centrale PC 2021 Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(a_n=\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits^2(k)\).

1. Déterminer un équivalent de \(a_n\) lorsque \(n\rightarrow+\infty\).

2. Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over a_n}\) ?

3. Soit \((u_n)_{n\in\mathbf{N}}\) une suite strictement positive qui tend vers \(+\infty\). Peut-on affirmer que la série de terme général \(\displaystyle{1\over u_0+u_1+\cdots+u_n}\) converge ?

[concours/ex7654] mines PC 2005 Étudier, quand \(n\rightarrow+\infty\), la suite \((u_n)_{n\geqslant 1}\) définie par : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(u_n=\left(\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}{1\over k\,!}\right)^{\!1/n}\).

[planches/ex8379] mines PC 2022 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer un équivalent de \(u_n=\left(\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}{1\over k\,!}\right)^{\!1/n}\).

[concours/ex4783] escp S 2002

1. Pour \(n\in \mathbf{N}\), on pose \(I_n= \displaystyle\int_0^1 {x^n\over\sqrt{1-x}}\,dx\).

   Montrer que cette intégrale est convergente. Calculer \(I_0\) et \(I_1\).

   Étudier la monotonie de la suite \((I_n)\). En déduire sa convergence.

2. 1. Montrer que \((2n+1)I_{n}=2nI_{n-1}\) pour tout \(n\in \mathbf{N}^*\).

   2. En déduire la nature de la série de terme général \(v_n= \mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(I_{n}) - \mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(I_{n-1})\), puis la limite de la suite \((I_n)\).

3. Pour \(n \in \mathbf{N}\), on pose \(J_n =\sqrt n I_n\) et \(K_n = \sqrt{n+1}I_{n}\).

   Montrer que les suites \((J_n)\) et \((K_n)\) sont adjacentes.

   En déduire l’existence d’un réel \(\alpha\) strictement positif tel que \(I_n\sim\displaystyle{\alpha\over \sqrt n}\) au voisinage de \(+\infty\).

4. 1. A l’aide de la relation de récurrence de la question 2. a), trouver une expression de \(I_n\) utilisant \(\displaystyle{2n\choose n}\).

   2. On admettra la formule de Stirling  : au voisinage de \(+\infty\), \(n\,!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}\).

      Déterminer \(\alpha\).

[concours/ex8070] mines MP 2009 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{1\over n^\alpha}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^{1/3}\right)\) ?

[concours/ex7770] ccp MP 2006

1. Étudier l’intégrabilité de \(\displaystyle{|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(x)|^p\over\sqrt{1+x^2}}\) sur \(\left[1-\displaystyle{1\over n},1\right[\) pour \(n\geqslant 3\) et \(p\) réel.

2. Étudier la convergence de la série de terme général : \[A_n=\int_{1-1/n}^1{|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(x)|^p\over\sqrt{1+x^2}}\,dx.\]

[concours/ex5407] polytechnique MP 2007 Montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(\left(\displaystyle{1\over n\,!}\right)^{\!1/n}(n+1)\leqslant e\).