Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0165] tpe MP 2005 La suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) est définie par : \(a_0\in\left]0,\pi/2\right[\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(a_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a_n)\). Quelle est la nature de la série de terme général \(a_n\) ?

[concours/ex9024] escp S 2010

1. On considère une suite réelle \((a_n)_{n\in \mathbf{N}}\) de limite \(\ell\in\mathbf{R}\).

   1. Écrire la définition mathématique de la convergence de la suite \((a_n)\) vers \(\ell\).

   2. Montrer que pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(n_0\in \mathbf{N}^*\) tel que pour tout \(n\geqslant n_0\), on a : \[\left| {1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k -\ell \right|\leqslant\left| {1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n_0-1} (a_k -\ell) \right|+{\varepsilon\over2}\]

   3. En déduire la limite de la suite \((v_n)_n\) définie pour tout \(n\in \mathbf{N}^*\) par : \[v_n= {1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k\]

2. Dans cette question, on considère la suite \((u_n)_{n\geqslant 0}\) définie par : \[u_0 = {\pi\over4}\quad\hbox{et, pour }\quad n\geqslant 1,\quad u_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(u_n).\]

   1. Montrer que la suite \((u_n)_n\) converge et donner sa limite.

   2. Montrer qu’il existe un réel \(\alpha\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(\displaystyle{1\over u_{n+1}^\alpha}-\displaystyle{1\over u_n^\alpha}\right)\) existe et est un réel non nul.

   3. Quelle est la nature de la série de terme général \(u_n\) ?

[examen/ex1009] hec S 2024 Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0\in\left]0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(u_n)\).

1. Question de cours : donner les deux premiers termes des développements limités de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x)\) et \((1+x)^2\) lorsque \(x\) tend vers 0.

2. Montrer que \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_n\in\left]0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\)

3. Montrer que \((u_n)\) converge vers une limite finie \(\ell\), que l’on déterminera.

4. Proposer un programme Python indice(u0,eps), qui prend en paramètre le premier terme \(u_0\in\left]0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\) et un paramètre \(\varepsilon\). Ce programme retourne le plus petit entier \(k\) tel que \(|u_k-\ell|<\varepsilon\).

5. Montrer que la suite \(\displaystyle{1\over u_{n+1}^2}-{1\over u_n^2}\) converge, et donner la valeur de sa limite.

6. Soit \((x_n)\) une suite réelle de limite \(x\in\mathbf{R}\). Montrer que la suite \(y_n=\displaystyle{1\over n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}x_k\) converge vers \(x\).

7. Déterminer un équivalent de \((u_n)\), lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\). En déduire la nature de la série de terme général \((u_n)\).

[concours/ex8240] mines PC 2010 Soit \((x_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \(x_0\in\left]0,\pi/2\right[\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(x_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x_n)\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on pose \(y_n=\displaystyle{1\over x_{n+1}^2}-{1\over x_n^2}\).

1. Déterminer la limite de la suite \((x_n)\).

2. Montrer que la suite \((y_n)\) converge vers un réel \(\ell\neq0\).

3. En déduire la nature de la série de terme général \(x_n^3\).

[examen/ex0661] imt MP 2023 On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0\in\left]0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(u_n)\).

1. Montrer que \((u_n)\) converge vers \(0\).

2. Déterminer \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que \((u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha)\) converge vers une limite non nulle.

3. Déterminer un équivalent de \(u_n\). Quelle est la nature de \(\sum\limits u_n\) ?

[concours/ex8069] mines MP 2009 La suite \((u_n)\) est définie par : \(0<u_0<\pi/2\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(u_n)\). Si \(p\) est dans \(\mathbf{N}^*\), nature de la série de terme général \(u_n^p\).

[planches/ex9463] polytechnique MP 2023 Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \(a_0=\pi/2\) et \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(a_{n+1}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a_n)\). Nature de la série de terme général \(a_n^2\) ?

[concours/ex7911] mines PC 2008 Soit \(a\in\mathbf{R}_+\). Nature de la série de terme général \(a_n=\displaystyle{n\,!\over(a+1)\cdots(a+n)}\) ?

[concours/ex7606] polytechnique MP 2005 Soit \(u\in\mathbf{R}^\mathbf{N}\) telle que \(u_0\in\left]0,1\right]\) et que, pour un certain \(\beta>0\) et pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}^\beta=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits u_n^\beta\). Étudier la nature de la série de terme général \(u_n\).

[planches/ex4145] imt PC 2018 Montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k)\over k}\) est équivalent à \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(n)^2\over2}\).

[planches/ex8036] mines MP 2022 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\pi en\,!)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(n)}\) ?

[planches/ex9364] ens PC 2023 Quelle est la nature de la série \(\displaystyle\sum\limits \mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(2\pi \,n! \,e)\) ?

[planches/ex9365] ens PC 2023 Nature, suivant la valeur de \(\alpha\in\mathbf{R}\), de \(\displaystyle\sum\limits\left|\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(2\pi\mathrm{e}n!\right)\right|^{\alpha}\).

[planches/ex9363] ens PC 2023 Quelle est la nature de la série \(\displaystyle\sum\limits \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\pi \,n! \,e)\) ?

[planches/ex5730] imt PC 2019 Soient \(\alpha\geqslant 0\) et pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk^\alpha\). Étudier la nature de \(\sum\limits\displaystyle{1\over S_n}\).

[planches/ex5465] centrale PC 2019 (avec Python)

On pose \(S_k(n)=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^nj^k\), \(T_k(n)=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^n{1\over S_k(j)}\), \(M_k=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{+\infty}{1\over S_k(j)}\) pour \(k\in\mathbf{N}^*\) et \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Calculer \(S_1(n)\). En déduire que \(M_1\) est réel et donner sa valeur.

2. Montrer que, pour tout \(k\), \(M_k\) est réel.

3. Donner une fonction Python qui renvoie la valeur de \(T_k(n)\).

4. Afficher sur un même dessin les \(T_k(n)\) pour \(k\in\{1,\ldots,10\}\) et \(n\in\{1,\ldots,50\}\). mettre une conjecture sur \((M_k)_{k\geqslant 1}\).

5. Montrer cette conjecture.

[concours/ex7722] mines MP 2006 Nature de la série de terme général \(\displaystyle{n^\alpha\over\sum\limits_{k=2}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits^2k}\), où \(\alpha\) est un réel.

[planches/ex9841] mines MP 2023 Si \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k))^2\). Déterminer la nature de \(\sum\limits\displaystyle\frac{1}{u_n}\).

[examen/ex0526] centrale PC 2023 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(a_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^2\). Déterminer un équivalent de \(a_n\) en \(+\infty\), et la nature de la série \(\displaystyle\sum\limits\displaystyle\frac{1}{a_n}\).

[concours/ex1601] ccp, tpe, int, ivp MP 1998 Soit \(v_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits k)^2\) et \(u_n=\displaystyle{1\over v_n}\). Donner un équivalent simple de \(u_n\). Étudier la convergence de \(u_n\). Étudier une méthode d’approximation numérique de \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n\).

[series/ex0106] Soit \(\alpha>0\). On pose \[a_n=\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^\alpha\] pour \(n\geqslant 2\). Nature de la série \(\sum\limits1/a_n\).

[concours/ex7888] mines MP 2008 Soit \(\alpha>0\). Nature de la série de terme général : \(\displaystyle{(n\alpha)^n\over\sum\limits_{k=0}^nk\,!}\) ?

[oraux/ex9065] centrale PC 2013 Soit, pour \(n\geqslant 1\), \(H_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k}\).

1. Montrer qu’il existe \(\gamma\in\mathbf{R}\) tel que \(H_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n+\gamma+o(1)\).

2. Nature, suivant \(a>0\), de la série de terme général \(a^{H_n}\) ?

[concours/ex7553] centrale 2004 Convergence de la série \(\sum\limits a^{\textstyle1+{1\over2}+\cdots+{1\over n}}\), \(a>0\).

[oraux/ex5332] mines MP 2012 Soient \(a\) et \(\alpha\) dans \(\mathbf{R}^{+*}\). Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=a^{\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha}}\).

[concours/ex8230] mines PC 2010 Nature de la série de terme général \(u_n=(2^2\times3^3\times\cdots\times n^n)^{-4/n^2}\) ?

[concours/ex7735] mines PC 2006 Nature de la série de terme général : \(u_n=\left[\mathop{\prod}\limits_{k=1}^nk^{2k}\right]^{-1/n^2}\).

[oraux/ex9184] ccp PSI 2014 Soient \(\alpha>1\) et \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\). Encadrer \(R_n\) et en déduire un équivalent de \(R_n\).

[oraux/ex4079] mines PC 2011 Soit, pour \(n\geqslant 2\) : \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n(2-3^{1/k})\).

1. Étudier la suite de terme général \(u_n\).

2. Nature de la série de terme général \(u_n\) ?

[concours/ex2894] centrale M 1994 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(1-e^{1/k})\).

[oraux/ex9284] ccp PSI 2015 Pour \(\alpha>1\), on pose \(S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k^\alpha}\) et \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\).

Montrer que \(R_n\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{n\rightarrow+\infty}}\displaystyle{1\over n^{\alpha-1}(\alpha-1)}\). Étudier la convergence de \(\displaystyle\sum\limits{R_n\over S_n}\) selon \(\alpha\).

[oraux/ex9407] ccp PSI 2016 Pour \(\alpha>1\), on pose \(S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k^\alpha}\) et \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\). Étudier la convergence de la série de terme général \(R_n/S_n\).

[concours/ex0947] centrale MP 1997 Nature de la série \[\sum\limits\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(2-e^{1/k})\,.\]

[oraux/ex4080] mines PC 2011 Nature de la série de terme général \(u_n=\left(\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^nk^k\right)^{\!-1/n^2}\).

[examen/ex4199] ccinp PSI 2025 Soit \(\alpha>1\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on pose \(R_n(\alpha)=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^\alpha}\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}R_n(\alpha)=0\).

2. Montrer que \(R_n(\alpha)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{n\rightarrow+\infty}}\displaystyle\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}\).

[concours/ex8282] centrale PC 2010 Discuter, suivant \(\alpha>1\), la nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\).

[concours/ex1469] centrale MP 1998

1. Étude de la fonction \(f:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(2-e^{1/x}\right)\). Graphe.

2. Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(u_n=\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n\left(2-e^{1/n}\right)\). Étudier la suite \((u_n)\) et la série \(\sum\limits u_n\).

[concours/ex5973] centrale MP 2007 On fixe \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(u_n=\displaystyle{n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{x\over k}\right)\).

1. Étudier la suite de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)\). En déduire que la suite \((u_n)_{n\geqslant 1}\) converge et préciser sa limite.

2. Établir l’existence de \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{1\over n}\right)\) converge.

3. Établir l’existence de \(A\in\mathbf{R}^*\) tel que \(u_n\sim A/n^\alpha\).

4. Étudier la convergence de la série de terme général \(u_n\).

[oraux/ex9247] mines PSI 2015 Soient \(x\in\mathbf{R}_+^*\) et, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \[u_n={n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{x\over n}\right).\]

1. Déterminer la nature de la série de terme général : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)\). En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\) est convergente ; déterminer sa limite.

2. Trouver \(\alpha\) tel que la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1}-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{1\over n}\right)\) converge.

3. En déduire qu’il existe un réel \(A>0\) tel que : \(u_n\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{n\rightarrow+\infty}}An^\alpha\).

[series/ex0109] Pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\) on note \(p_n\) le \(n\)-ème nombre premier. On pose \[P_n=\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n{1\over1-1/p_k}\,.\] Montrer que la suite \((P_n)_{n\in\mathbf{N}}\) tend vers \(+\infty\).

Montrer que la série \(\sum\limits\displaystyle{1\over p_n}\) diverge.

[concours/ex7521] polytechnique 2004 Soit \(n_1\), … , \(n_k\) des nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 et deux à deux premiers entre eux. On note : \[A_k=\left\{p\in\mathbf{N}\mid\exists(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)\in\mathbf{N}^k,\ p=n_1^{\alpha_1}\ldots n_k^{\alpha_k}\right\}.\] Calculer \(\sum\limits_{p\in A_k}\displaystyle{1\over p}\). Montrer que la série \(\sum\limits_{p\hbox{ \scriptsize premier}}\displaystyle{1\over p}\) diverge.

[planches/ex4041] imt MP 2018 Soit \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(u_n=\displaystyle{n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{x\over k}\right)\).

1. Étudier la suite \(\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(\displaystyle{u_{n+1}\over u_n}\right)\right)_{\!n\in\mathbf{N}^*}\) puis la suite \((u_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\).

2. Trouver \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que la série de terme général \(\displaystyle\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({u_{n+1}\over u_n}\right)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{1\over n}\right)\) converge.

3. En déduire un équivalent de \(u_n\).

[oraux/ex8984] ens paris MP 2013 On note \((p_n)_{n\in\mathbf{N}}\) la suite des nombres premiers ordonnée de manière strictement croissante. Montrer que la série de terme général \(1/p_n\) diverge.

[concours/ex7842] polytechnique MP 2008 Donner la nature de la série de terme général \(1/k_n\), où \(k_n\) est le \(n\)-ième nombre premier.

[concours/ex7936] centrale MP 2008 Soit \(a\in\mathbf{R}\). On pose, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(u_n=n^{1/n^a}-(n+1)^{1/(n^a+1)}\).

1. Pour quelles valeurs de \(a\) la série de terme général \(u_n\) converge-t-elle ?

2. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{a\rightarrow+\infty} S(a)\) où \(S(a)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n\).

[oraux/ex9344] mines MP 2016 Pour \(n\geqslant 2\), soit \(a_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(2-e^{1/k})\).

1. La série \(\displaystyle\sum\limits{(-1)^n\over a_n}\) converge-t-elle ?

2. Quel est le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum\limits{x^n\over a_n}\) ?

3. Trouver \(\alpha>0\) tel que \((n^\alpha a_n)\) admette une limite dans \(\mathbf{R}_+^*\).

[concours/ex8267] centrale PSI 2010 (avec Maple)

Trouver \(P\in\mathbf{R}[X]\) tel que la série de terme général \(u_n=(n^7-3n^6)^{1/7}-P(n)^{1/3}\) converge le plus vite. Donner alors un équivalent du reste.

[planches/ex6308] hec courts S 2021 Soit \(a\) un réel strictement positif.

1. Étudier la nature de la série \(\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits (n+a) - \mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits n\right)\).

2. Proposer un programme SCILAB permettant d’en donner une valeur approchée à 0.001 près quand \(a=\frac12\)

   On rappelle que atan(x) renvoie la valeur de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x)\)

[series/ex0508] Soit \((a,b,c)\in(\mathbf{R}_+^*)^3\). Déterminer la nature de la série : \[\sum\limits_{n=1}^{\infty}{n\,!\,a(a+1)\cdots(a+n)\over b(b+1)\cdots(b+n)\,c(c+1)\cdots(c+n)}.\]

[concours/ex4135] mines M 1990 Nature de la série de terme général : \[\displaystyle{\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n-1)\, \beta(\beta+1)\cdots(\beta+n-1)\over n\,!\,\gamma(\gamma+1)\cdots(\gamma+n-1)}.\]

[examen/ex2977] polytechnique MP 2025 Construire une suite strictement croissante \((p_n)_{n\geqslant 2}\) d’entiers avec \(p_2=2\) telle qu’il existe \(C>0\) vérifiant, pour tout \(n\geqslant 2\), \(\displaystyle\sum\limits_{k=p_n}^{p_{n+1}-1}\frac{1}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k}\geqslant C\), et telle que la série de terme général \(2^{-(p_{n+1}-p_n)}\) diverge.

[concours/ex7654] mines PC 2005 Étudier, quand \(n\rightarrow+\infty\), la suite \((u_n)_{n\geqslant 1}\) définie par : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(u_n=\left(\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}{1\over k\,!}\right)^{\!1/n}\).

[planches/ex7006] mines PC 2021 Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(a_n=\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits^2(k)\). Nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over a_n}\) ?

[planches/ex6909] mines PSI 2021 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de la fonction \(t\mapsto\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(nt)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)}\).

2. Montrer que, pour tout \(t\in D\), \(\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(nt)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(3t)+\cdots+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits((2n-1)t)\).

3. En déduire que \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(nt)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\sim{1\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n\).

[concours/ex4783] escp S 2002

1. Pour \(n\in \mathbf{N}\), on pose \(I_n= \displaystyle\int_0^1 {x^n\over\sqrt{1-x}}\,dx\).

   Montrer que cette intégrale est convergente. Calculer \(I_0\) et \(I_1\).

   Étudier la monotonie de la suite \((I_n)\). En déduire sa convergence.

2. 1. Montrer que \((2n+1)I_{n}=2nI_{n-1}\) pour tout \(n\in \mathbf{N}^*\).

   2. En déduire la nature de la série de terme général \(v_n= \mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(I_{n}) - \mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(I_{n-1})\), puis la limite de la suite \((I_n)\).

3. Pour \(n \in \mathbf{N}\), on pose \(J_n =\sqrt n I_n\) et \(K_n = \sqrt{n+1}I_{n}\).

   Montrer que les suites \((J_n)\) et \((K_n)\) sont adjacentes.

   En déduire l’existence d’un réel \(\alpha\) strictement positif tel que \(I_n\sim\displaystyle{\alpha\over \sqrt n}\) au voisinage de \(+\infty\).

4. 1. A l’aide de la relation de récurrence de la question 2. a), trouver une expression de \(I_n\) utilisant \(\displaystyle{2n\choose n}\).

   2. On admettra la formule de Stirling  : au voisinage de \(+\infty\), \(n\,!\sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}\).

      Déterminer \(\alpha\).

[planches/ex7255] centrale PC 2021 Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(a_n=\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits^2(k)\).

1. Déterminer un équivalent de \(a_n\) lorsque \(n\rightarrow+\infty\).

2. Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over a_n}\) ?

3. Soit \((u_n)_{n\in\mathbf{N}}\) une suite strictement positive qui tend vers \(+\infty\). Peut-on affirmer que la série de terme général \(\displaystyle{1\over u_0+u_1+\cdots+u_n}\) converge ?

[planches/ex8379] mines PC 2022 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer un équivalent de \(u_n=\left(\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}{1\over k\,!}\right)^{\!1/n}\).

[concours/ex7770] ccp MP 2006

1. Étudier l’intégrabilité de \(\displaystyle{|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(x)|^p\over\sqrt{1+x^2}}\) sur \(\left[1-\displaystyle{1\over n},1\right[\) pour \(n\geqslant 3\) et \(p\) réel.

2. Étudier la convergence de la série de terme général : \[A_n=\int_{1-1/n}^1{|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(x)|^p\over\sqrt{1+x^2}}\,dx.\]

[concours/ex7956] centrale PC 2008 Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n{1\over k^2+(n+k)^2}\).

[oraux/ex9265] centrale MP 2015 (avec Python)

Soit \(g:t\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle{1\over\sqrt t+t\sqrt t}\). On pose, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(u_n=g(n)\).

1. Quelle est la nature de la série de terme général \(u_n\) ?

2. On note \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}u_k\). Montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt{n+1}}\leqslant R_n\leqslant 2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt n}\).

3. Montrer que \(R_n-\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt n}-\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits{1\over\sqrt{n+1}}=O\left(\displaystyle{1\over n^{3/2}}\right)\).

4. Écrire un programme calculant la somme de la série \(\sum\limits u_n\) à \(10^{-3}\) près.

[concours/ex5407] polytechnique MP 2007 Montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(\left(\displaystyle{1\over n\,!}\right)^{\!1/n}(n+1)\leqslant e\).

[planches/ex3502] mines MP 2018

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(\alpha\) réels pour que \(\sum\limits_{k\in\mathbf{N}^*}k^\alpha a^k\) converge.

2. On considère cette condition vérifiée. Donner un équivalent lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) de \(\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}k^\alpha a^k\).

[examen/ex4068] imt MP 2025

1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle \(\displaystyle\frac{1}{X^2(X+1)}\).

2. Pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose : \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\).

   1. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n\).

   2. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n-\displaystyle\frac{1}{n}\).

   3. Déterminer la nature de la série de terme général \((n\,u_n-1)\).

[planches/ex8766] centrale PC 2022 Soit \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que \(u_0>0\) et, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle{u_{n+1}\over u_n}={(n+a)(n+b)\over(n+c)(n+d)}\) où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des réels strictement positifs.

1. Trouver un réel \(\alpha\) tel que la suite \((\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(n^\alpha u_n))\) converge.

2. On suppose que cette condition est vérifiée. Donner un équivalent de \((u_n)\).

3. Déterminer une condition sur \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) pour que la série \(\sum\limits u_n\) converge.

[concours/ex2333] mines M 1995 Nature de la série de terme général : \(\left(\displaystyle{n+a\over n+b}\right)^{\!\!n^2}\) (\(a\), \(b\) réels).

[planches/ex2671] imt MP 2017 On pose, pour \(n\geqslant 2\), \(S_n=\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k)\) et \(u_n=\displaystyle{1\over S_n}\).

1. Trouver un équivalent de \(S_n\).

2. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n\).

[planches/ex8765] centrale PC 2022

1. Montrer que la suite \(u\) définie, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), par \(u_n=\displaystyle{1\over n}+{1\over n+1}+\cdots+{1\over2n}\) converge, puis donner sa limite.

2. Montrer que la suite \(v\) définie, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), par \(v_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\left({1\over n+k}\right)\) converge.

[concours/ex8287] centrale PC 2010

1. Montrer la convergence de la suite de terme général \[u_n=\sum\limits_{k=1}^n{1\over\sqrt k}-2\sqrt n.\]

2. Soit \(\alpha\in\mathbf{R}_+^*\). Nature de la série de terme général \(v_n=\displaystyle{1\over n^\alpha}\sum\limits_{k=1}^n{1\over\sqrt k}\) ?

[concours/ex2499] centrale M 1995 Nature de la série de terme général : \[u_n=\left(\sum\limits_{k\geqslant n}{(-1)^{k-n}\over k}\right)^{\!\!\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n}.\]

[concours/ex7452] mines 2003 Soient \(\alpha\in\mathbf{R}\) et pour \(n\geqslant 2\) : \[u_n={ne^{n^2}\over(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n)^\alpha}\int_{n^2}^{+\infty}{e^{-t}\over t}\,dt.\]

1. Nature de la série de terme général \(u_n\) ?

2. Pour \(\alpha=1\), déterminer un équivalent de \(\sum\limits_{k=2}^nu_k\).

[concours/ex1472] centrale MP 1998

1. Montrer qu’il existe deux applications continues \(Y_1\) et \(Y_2\) de \(\left[1,+\infty\right[\) dans \(\mathbf{R}\) telles que, pour \(x\geqslant 1\) et \(i\in\{1,2\}\), on ait \(Y_i(x)-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits Y_i(x)=x\).

2. Développement asymptotique de \(Y_i\) en \(+\infty\) à trois termes.

3. On définit la suite \((u_n(x))\) par \(u_0(x)=1\) et \(u_n(x)=x+\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n-1}(x))\) pour \(n\geqslant 1\) et \(x\geqslant 1\). Quelle est la limite de cette suite ?

[examen/ex2466] ccinp MP 2024

1. Soient \(a\), \(b>0\). Calculer \(\displaystyle\int_a^b\frac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}+t^{1/2}}\).

   On effectuera le changement de variable \(u=\sqrt t\).

2. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Justifier la convergence de : \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^{3/2}+k^{1/2}}\).

3. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer que : \(\displaystyle2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\frac{1}{\sqrt{n+1}}\leqslant R_n\leqslant 2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\frac{1}{\sqrt n}\).

4. Déterminer un équivalent simple de \(R_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex2895] centrale M 1994 Étude de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{n^\alpha\over\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits^2k}\).

[concours/ex4040] polytechnique pox P 1990 Donner un équivalent, pour \(n\) tendant vers \(+\infty\), de \[w_n=e^{-n^{1+\alpha}}\int_{n-1}^ne^{t^{1+\alpha}}\,dt.\] Convergence de \(\sum\limits w_n\).

[planches/ex7863] polytechnique, espci PC 2022 Soient \(\alpha\), \(\beta\) deux réels. Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(f_\beta(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^\beta\).

1. Étudier la convergence de la série \(\displaystyle\sum\limits{n^\alpha\over f_2(n)}\).

2. Plus généralement, étudier la série \(\displaystyle\sum\limits{n^\alpha\over f_\beta(n)}\).

3. On suppose \(\alpha>0\). Déterminer un équivalent de \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{n^\alpha\over f_2(n)}\) quand \(n\longrightarrow+\infty\).

[planches/ex6746] mines MP 2021 Soient \(a\in\mathbf{R}_+^*\) et \(b\in\mathbf{R}\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b)\) pour que la série de terme général \(u_n=a^nn^b\) diverge.

2. Si cette condition est réalisée, donner un équivalent de \(\sum\limits_{k=1}^nu_k\).

[concours/ex7719] mines MP 2006 Nature de la série de terme général \(\displaystyle{e-\left(1+\textstyle{1\over n}\right)^n\over n^{3/2}-\lfloor n^{3/2}\rfloor+n}\).

[concours/ex8236] mines PC 2010 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n\left(1-\displaystyle{1\over k}\right)\) ? de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n\left(1-\displaystyle{1\over\sqrt k}\right)\) ?

[concours/ex8070] mines MP 2009 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{1\over n^\alpha}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^{1/3}\right)\) ?

[concours/ex2338] mines M 1995 Convergence et calcul de \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant p+1}\left({1\over n-p}-{1\over n+p}\right)\).

Énoncé original : On pose \(S_{n,p}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{l=0}^p{2k\over k^2-n^2}\).

Énoncé modifié : On pose \(S_{n,p}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{l=0}^p{2l\over k^2-l^2}\).

Comparer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{p\rightarrow+\infty}S_{n,p}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{p\rightarrow+\infty}\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}S_{n,p}\).