Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4040] polytechnique pox P 1990 Donner un équivalent, pour \(n\) tendant vers \(+\infty\), de \[w_n=e^{-n^{1+\alpha}}\int_{n-1}^ne^{t^{1+\alpha}}\,dt.\] Convergence de \(\sum\limits w_n\).

[planches/ex2671] imt MP 2017 On pose, pour \(n\geqslant 2\), \(S_n=\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k)\) et \(u_n=\displaystyle{1\over S_n}\).

1. Trouver un équivalent de \(S_n\).

2. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n\).

[concours/ex1472] centrale MP 1998

1. Montrer qu’il existe deux applications continues \(Y_1\) et \(Y_2\) de \(\left[1,+\infty\right[\) dans \(\mathbf{R}\) telles que, pour \(x\geqslant 1\) et \(i\in\{1,2\}\), on ait \(Y_i(x)-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits Y_i(x)=x\).

2. Développement asymptotique de \(Y_i\) en \(+\infty\) à trois termes.

3. On définit la suite \((u_n(x))\) par \(u_0(x)=1\) et \(u_n(x)=x+\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n-1}(x))\) pour \(n\geqslant 1\) et \(x\geqslant 1\). Quelle est la limite de cette suite ?

[concours/ex2895] centrale M 1994 Étude de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{n^\alpha\over\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits^2k}\).

[concours/ex5407] polytechnique MP 2007 Montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(\left(\displaystyle{1\over n\,!}\right)^{\!1/n}(n+1)\leqslant e\).

[concours/ex7719] mines MP 2006 Nature de la série de terme général \(\displaystyle{e-\left(1+\textstyle{1\over n}\right)^n\over n^{3/2}-\lfloor n^{3/2}\rfloor+n}\).

[planches/ex7863] polytechnique, espci PC 2022 Soient \(\alpha\), \(\beta\) deux réels. Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(f_\beta(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^\beta\).

1. Étudier la convergence de la série \(\displaystyle\sum\limits{n^\alpha\over f_2(n)}\).

2. Plus généralement, étudier la série \(\displaystyle\sum\limits{n^\alpha\over f_\beta(n)}\).

3. On suppose \(\alpha>0\). Déterminer un équivalent de \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{n^\alpha\over f_2(n)}\) quand \(n\longrightarrow+\infty\).

[concours/ex7956] centrale PC 2008 Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n{1\over k^2+(n+k)^2}\).

[planches/ex6746] mines MP 2021 Soient \(a\in\mathbf{R}_+^*\) et \(b\in\mathbf{R}\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b)\) pour que la série de terme général \(u_n=a^nn^b\) diverge.

2. Si cette condition est réalisée, donner un équivalent de \(\sum\limits_{k=1}^nu_k\).

[concours/ex2338] mines M 1995 Convergence et calcul de \(\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant p+1}\left({1\over n-p}-{1\over n+p}\right)\).

Énoncé original : On pose \(S_{n,p}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{l=0}^p{2k\over k^2-n^2}\).

Énoncé modifié : On pose \(S_{n,p}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{l=0}^p{2l\over k^2-l^2}\).

Comparer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{p\rightarrow+\infty}S_{n,p}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{p\rightarrow+\infty}\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}S_{n,p}\).