Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex9247] mines PSI 2015 Soient \(x\in\mathbf{R}_+^*\) et, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \[u_n={n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{x\over n}\right).\]

1. Déterminer la nature de la série de terme général : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)\). En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\) est convergente ; déterminer sa limite.

2. Trouver \(\alpha\) tel que la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1}-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{1\over n}\right)\) converge.

3. En déduire qu’il existe un réel \(A>0\) tel que : \(u_n\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{n\rightarrow+\infty}}An^\alpha\).

[concours/ex7842] polytechnique MP 2008 Donner la nature de la série de terme général \(1/k_n\), où \(k_n\) est le \(n\)-ième nombre premier.

[concours/ex7521] polytechnique 2004 Soit \(n_1\), … , \(n_k\) des nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 et deux à deux premiers entre eux. On note : \[A_k=\left\{p\in\mathbf{N}\mid\exists(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)\in\mathbf{N}^k,\ p=n_1^{\alpha_1}\ldots n_k^{\alpha_k}\right\}.\] Calculer \(\sum\limits_{p\in A_k}\displaystyle{1\over p}\). Montrer que la série \(\sum\limits_{p\hbox{ \scriptsize premier}}\displaystyle{1\over p}\) diverge.

[planches/ex4041] imt MP 2018 Soit \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(u_n=\displaystyle{n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{x\over k}\right)\).

1. Étudier la suite \(\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(\displaystyle{u_{n+1}\over u_n}\right)\right)_{\!n\in\mathbf{N}^*}\) puis la suite \((u_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\).

2. Trouver \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que la série de terme général \(\displaystyle\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({u_{n+1}\over u_n}\right)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{1\over n}\right)\) converge.

3. En déduire un équivalent de \(u_n\).

[oraux/ex9344] mines MP 2016 Pour \(n\geqslant 2\), soit \(a_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(2-e^{1/k})\).

1. La série \(\displaystyle\sum\limits{(-1)^n\over a_n}\) converge-t-elle ?

2. Quel est le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum\limits{x^n\over a_n}\) ?

3. Trouver \(\alpha>0\) tel que \((n^\alpha a_n)\) admette une limite dans \(\mathbf{R}_+^*\).

[concours/ex7936] centrale MP 2008 Soit \(a\in\mathbf{R}\). On pose, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(u_n=n^{1/n^a}-(n+1)^{1/(n^a+1)}\).

1. Pour quelles valeurs de \(a\) la série de terme général \(u_n\) converge-t-elle ?

2. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{a\rightarrow+\infty} S(a)\) où \(S(a)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n\).

[concours/ex2784] mines M 1994 Nature de la série de terme général \[u_n={\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n-1)\,\beta(\beta+1)\cdots(\beta+n-1)\over n\,!\,\gamma(\gamma+1)\cdots(\gamma+n-1)}.\]

[planches/ex6308] hec courts S 2021 Soit \(a\) un réel strictement positif.

1. Étudier la nature de la série \(\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits (n+a) - \mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits n\right)\).

2. Proposer un programme SCILAB permettant d’en donner une valeur approchée à 0.001 près quand \(a=\frac12\)

   On rappelle que atan(x) renvoie la valeur de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x)\)

[concours/ex8267] centrale PSI 2010 (avec Maple)

Trouver \(P\in\mathbf{R}[X]\) tel que la série de terme général \(u_n=(n^7-3n^6)^{1/7}-P(n)^{1/3}\) converge le plus vite. Donner alors un équivalent du reste.

[series/ex0508] Soit \((a,b,c)\in(\mathbf{R}_+^*)^3\). Déterminer la nature de la série : \[\sum\limits_{n=1}^{\infty}{n\,!\,a(a+1)\cdots(a+n)\over b(b+1)\cdots(b+n)\,c(c+1)\cdots(c+n)}.\]