Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex7551] centrale 2004 Soit \(\alpha\) un réel. On pose \(u_n=\sum\limits_{k=n}^{+\infty}(k+1)^{-\alpha}\). Existence de \(u_n\). Nature de la série de terme général \(u_n\).

[oraux/ex4080] mines PC 2011 Nature de la série de terme général \(u_n=\left(\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^nk^k\right)^{\!-1/n^2}\).

[concours/ex2894] centrale M 1994 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(1-e^{1/k})\).

[oraux/ex9407] ccp PSI 2016 Pour \(\alpha>1\), on pose \(S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k^\alpha}\) et \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\). Étudier la convergence de la série de terme général \(R_n/S_n\).

[oraux/ex9284] ccp PSI 2015 Pour \(\alpha>1\), on pose \(S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k^\alpha}\) et \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\).

Montrer que \(R_n\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{n\rightarrow+\infty}}\displaystyle{1\over n^{\alpha-1}(\alpha-1)}\). Étudier la convergence de \(\displaystyle\sum\limits{R_n\over S_n}\) selon \(\alpha\).

[oraux/ex9184] ccp PSI 2014 Soient \(\alpha>1\) et \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}{1\over k^\alpha}\). Encadrer \(R_n\) et en déduire un équivalent de \(R_n\).

[concours/ex5973] centrale MP 2007 On fixe \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(u_n=\displaystyle{n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{x\over k}\right)\).

1. Étudier la suite de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)\). En déduire que la suite \((u_n)_{n\geqslant 1}\) converge et préciser sa limite.

2. Établir l’existence de \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{1\over n}\right)\) converge.

3. Établir l’existence de \(A\in\mathbf{R}^*\) tel que \(u_n\sim A/n^\alpha\).

4. Étudier la convergence de la série de terme général \(u_n\).

[concours/ex1469] centrale MP 1998

1. Étude de la fonction \(f:x\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(2-e^{1/x}\right)\). Graphe.

2. Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(u_n=\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n\left(2-e^{1/n}\right)\). Étudier la suite \((u_n)\) et la série \(\sum\limits u_n\).

[oraux/ex9247] mines PSI 2015 Soient \(x\in\mathbf{R}_+^*\) et, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \[u_n={n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{x\over n}\right).\]

1. Déterminer la nature de la série de terme général : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1})-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)\). En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\) est convergente ; déterminer sa limite.

2. Trouver \(\alpha\) tel que la série de terme général \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_{n+1}-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u_n)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+\displaystyle{1\over n}\right)\) converge.

3. En déduire qu’il existe un réel \(A>0\) tel que : \(u_n\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{n\rightarrow+\infty}}An^\alpha\).

[concours/ex7521] polytechnique 2004 Soit \(n_1\), … , \(n_k\) des nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 et deux à deux premiers entre eux. On note : \[A_k=\left\{p\in\mathbf{N}\mid\exists(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)\in\mathbf{N}^k,\ p=n_1^{\alpha_1}\ldots n_k^{\alpha_k}\right\}.\] Calculer \(\sum\limits_{p\in A_k}\displaystyle{1\over p}\). Montrer que la série \(\sum\limits_{p\hbox{ \scriptsize premier}}\displaystyle{1\over p}\) diverge.