Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex9363] ens PC 2023 Quelle est la nature de la série \(\displaystyle\sum\limits \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\pi \,n! \,e)\) ?

[planches/ex9364] ens PC 2023 Quelle est la nature de la série \(\displaystyle\sum\limits \mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(2\pi \,n! \,e)\) ?

[planches/ex8036] mines MP 2022 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\pi en\,!)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(n)}\) ?

[planches/ex9602] polytechnique, espci PC 2023 Étudier la convergence de la série de terme général \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\pi n!e)|^{\alpha}\) selon les valeurs du réel \(\alpha>0\).

[planches/ex5730] imt PC 2019 Soient \(\alpha\geqslant 0\) et pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk^\alpha\). Étudier la nature de \(\sum\limits\displaystyle{1\over S_n}\).

[planches/ex5465] centrale PC 2019 (avec Python)

On pose \(S_k(n)=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^nj^k\), \(T_k(n)=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^n{1\over S_k(j)}\), \(M_k=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{+\infty}{1\over S_k(j)}\) pour \(k\in\mathbf{N}^*\) et \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Calculer \(S_1(n)\). En déduire que \(M_1\) est réel et donner sa valeur.

2. Montrer que, pour tout \(k\), \(M_k\) est réel.

3. Donner une fonction Python qui renvoie la valeur de \(T_k(n)\).

4. Afficher sur un même dessin les \(T_k(n)\) pour \(k\in\{1,\ldots,10\}\) et \(n\in\{1,\ldots,50\}\). mettre une conjecture sur \((M_k)_{k\geqslant 1}\).

5. Montrer cette conjecture.

[concours/ex1477] centrale MP 1998 Soit \(\alpha\in\mathbf{R}\). Étudier la série de terme général \(u_n=\displaystyle{1\over n^\alpha\sum\limits_{k=2}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^2}\).

[planches/ex5233] mines PC 2019 On pose, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^2\).

1. Déterminer un équivalent de \(u_n\).

2. Nature de la série de terme général \(1/u_n\) ?

[planches/ex9841] mines MP 2023 Si \(n\in\mathbf{N}^*\), soit \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(k))^2\). Déterminer la nature de \(\sum\limits\displaystyle\frac{1}{u_n}\).

[concours/ex1601] ccp, tpe, int, ivp MP 1998 Soit \(v_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits k)^2\) et \(u_n=\displaystyle{1\over v_n}\). Donner un équivalent simple de \(u_n\). Étudier la convergence de \(u_n\). Étudier une méthode d’approximation numérique de \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_n\).