Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7863] polytechnique, espci PC 2022 Soient \(\alpha\), \(\beta\) deux réels. Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(f_\beta(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^\beta\).

1. Étudier la convergence de la série \(\displaystyle\sum\limits{n^\alpha\over f_2(n)}\).

2. Plus généralement, étudier la série \(\displaystyle\sum\limits{n^\alpha\over f_\beta(n)}\).

3. On suppose \(\alpha>0\). Déterminer un équivalent de \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{n^\alpha\over f_2(n)}\) quand \(n\longrightarrow+\infty\).

[concours/ex5407] polytechnique MP 2007 Montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(\left(\displaystyle{1\over n\,!}\right)^{\!1/n}(n+1)\leqslant e\).

[concours/ex8236] mines PC 2010 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n\left(1-\displaystyle{1\over k}\right)\) ? de la série de terme général \(u_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=2}^n\left(1-\displaystyle{1\over\sqrt k}\right)\) ?

[concours/ex7452] mines 2003 Soient \(\alpha\in\mathbf{R}\) et pour \(n\geqslant 2\) : \[u_n={ne^{n^2}\over(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n)^\alpha}\int_{n^2}^{+\infty}{e^{-t}\over t}\,dt.\]

1. Nature de la série de terme général \(u_n\) ?

2. Pour \(\alpha=1\), déterminer un équivalent de \(\sum\limits_{k=2}^nu_k\).

[planches/ex8765] centrale PC 2022

1. Montrer que la suite \(u\) définie, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), par \(u_n=\displaystyle{1\over n}+{1\over n+1}+\cdots+{1\over2n}\) converge, puis donner sa limite.

2. Montrer que la suite \(v\) définie, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), par \(v_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\left({1\over n+k}\right)\) converge.