Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2466] ccinp MP 2024

1. Soient \(a\), \(b>0\). Calculer \(\displaystyle\int_a^b\frac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}+t^{1/2}}\).

   On effectuera le changement de variable \(u=\sqrt t\).

2. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Justifier la convergence de : \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^{3/2}+k^{1/2}}\).

3. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer que : \(\displaystyle2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\frac{1}{\sqrt{n+1}}\leqslant R_n\leqslant 2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\frac{1}{\sqrt n}\).

4. Déterminer un équivalent simple de \(R_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

[examen/ex4068] imt MP 2025

1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle \(\displaystyle\frac{1}{X^2(X+1)}\).

2. Pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose : \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\).

   1. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n\).

   2. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n-\displaystyle\frac{1}{n}\).

   3. Déterminer la nature de la série de terme général \((n\,u_n-1)\).

[concours/ex2333] mines M 1995 Nature de la série de terme général : \(\left(\displaystyle{n+a\over n+b}\right)^{\!\!n^2}\) (\(a\), \(b\) réels).

[concours/ex2499] centrale M 1995 Nature de la série de terme général : \[u_n=\left(\sum\limits_{k\geqslant n}{(-1)^{k-n}\over k}\right)^{\!\!\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n}.\]

[planches/ex3502] mines MP 2018

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(\alpha\) réels pour que \(\sum\limits_{k\in\mathbf{N}^*}k^\alpha a^k\) converge.

2. On considère cette condition vérifiée. Donner un équivalent lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) de \(\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}k^\alpha a^k\).