Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7255] centrale PC 2021 Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(a_n=\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits^2(k)\).

1. Déterminer un équivalent de \(a_n\) lorsque \(n\rightarrow+\infty\).

2. Quelle est la nature de la série de terme général \(\displaystyle{1\over a_n}\) ?

3. Soit \((u_n)_{n\in\mathbf{N}}\) une suite strictement positive qui tend vers \(+\infty\). Peut-on affirmer que la série de terme général \(\displaystyle{1\over u_0+u_1+\cdots+u_n}\) converge ?

[planches/ex8379] mines PC 2022 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer un équivalent de \(u_n=\left(\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}{1\over k\,!}\right)^{\!1/n}\).

[examen/ex4068] imt MP 2025

1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle \(\displaystyle\frac{1}{X^2(X+1)}\).

2. Pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose : \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\).

   1. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n\).

   2. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n-\displaystyle\frac{1}{n}\).

   3. Déterminer la nature de la série de terme général \((n\,u_n-1)\).

[oraux/ex9265] centrale MP 2015 (avec Python)

Soit \(g:t\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle{1\over\sqrt t+t\sqrt t}\). On pose, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(u_n=g(n)\).

1. Quelle est la nature de la série de terme général \(u_n\) ?

2. On note \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}u_k\). Montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt{n+1}}\leqslant R_n\leqslant 2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt n}\).

3. Montrer que \(R_n-\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt n}-\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits{1\over\sqrt{n+1}}=O\left(\displaystyle{1\over n^{3/2}}\right)\).

4. Écrire un programme calculant la somme de la série \(\sum\limits u_n\) à \(10^{-3}\) près.

[concours/ex2895] centrale M 1994 Étude de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{n^\alpha\over\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits^2k}\).