Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4041] imt MP 2018 Soit \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \(u_n=\displaystyle{n\,!\over x^n}\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{x\over k}\right)\).

1. Étudier la suite \(\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(\displaystyle{u_{n+1}\over u_n}\right)\right)_{\!n\in\mathbf{N}^*}\) puis la suite \((u_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\).

2. Trouver \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que la série de terme général \(\displaystyle\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({u_{n+1}\over u_n}\right)-\alpha\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1+{1\over n}\right)\) converge.

3. En déduire un équivalent de \(u_n\).

[oraux/ex8984] ens paris MP 2013 On note \((p_n)_{n\in\mathbf{N}}\) la suite des nombres premiers ordonnée de manière strictement croissante. Montrer que la série de terme général \(1/p_n\) diverge.

[concours/ex7521] polytechnique 2004 Soit \(n_1\), … , \(n_k\) des nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 et deux à deux premiers entre eux. On note : \[A_k=\left\{p\in\mathbf{N}\mid\exists(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)\in\mathbf{N}^k,\ p=n_1^{\alpha_1}\ldots n_k^{\alpha_k}\right\}.\] Calculer \(\sum\limits_{p\in A_k}\displaystyle{1\over p}\). Montrer que la série \(\sum\limits_{p\hbox{ \scriptsize premier}}\displaystyle{1\over p}\) diverge.

[concours/ex7842] polytechnique MP 2008 Donner la nature de la série de terme général \(1/k_n\), où \(k_n\) est le \(n\)-ième nombre premier.

[oraux/ex9344] mines MP 2016 Pour \(n\geqslant 2\), soit \(a_n=\displaystyle\mathop{\prod}\limits_{k=1}^n(2-e^{1/k})\).

1. La série \(\displaystyle\sum\limits{(-1)^n\over a_n}\) converge-t-elle ?

2. Quel est le rayon de convergence de \(\displaystyle\sum\limits{x^n\over a_n}\) ?

3. Trouver \(\alpha>0\) tel que \((n^\alpha a_n)\) admette une limite dans \(\mathbf{R}_+^*\).